Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99



Когда плотность теплового потока через границу задана в виде (2.50), необходимый дискретный аналог можно получить, используя выражения (2.46), (2.47) и (2.50). В этом случае имеем

/=(й (2.54)

а = а,- SpAx -fp- (2.54а)

b = ScAx+fc. (2.546)

Так как мы потребовали, чтобы Sp< О н/р< О, члены -SpAx и -fp дают положительные вклады в Од. Дискретные аналоги для граничных контрольных объемов (2.48) и (2.53) подобны обычным дискретным аналогам (2.42), за исключением того, что в граничных уравнениях Тд связано только с Т/.

Граничное условие в виде заданной плотности теплового потока qg может быть рассмотрено в качестве специального случая (2.50). Если /(- положить равным q, г. fp - равным нулю, то выражения (2.53)-(2.546) могут быть также использованы для реализации заданной плотности теплового потока. Что делать, когда q есть нелинейная функция от Tgl Такой случай тоже может быть учтен, и мы обсудим это позднее (см. п. 2.5.5).

С учетом вышеизложенного можно сделать следующий вывод. Когда на границе задана температура, какого-либо уравнения для половинных контрольных объемов не требуется. Если же задана плотность теплового потока q (или постоянная, или зависящая от

температуры Tg), то общая система алгебраических уравнений включает в себя дополнительные уравнения типа (2.48) или (2.53) для определения переменной температуры Tg.

Уравнения для половинных контрольных объемов могут быть полезными, даже когда температура Tg задана. В этом случае после определения значений температуры в расчетных точках мы можем использовать выражения (2.46) и (2.47) для нахождения неизвестной плотности теплового потока qgb виде

Чв-щув-Т,)-{5с + 5рТд)Ах. (2.55)

Будет интересно применить эту формулу для решения простого примера, рассмотренного в § 2.3. и получить плотности тепловых



потоков через границы. Тогда мы сможем проверить тепловой баланс во всей расчетной области, сравнив, совпадает ли потеря тепла (в единицу времени) за счет потока через границы с полной мощностью генерации тепла. Если вы хотите это осуществить, то должны получить следующие результаты: потеря тепла (в единицу времени) на левой границе равна 8; на правой - 2, т.е. полная потеря тепла равна 10. Это в точности совпадает со значением SL, которое равно 10, что соответствует полной мощности генерации тепла в стержне длиной L с единичной площадью поперечного сечения. В этой простой задаче численные значения плотностей тепловых потоков через границы полностью согласуются со значениями, полученными дифференцированием точного решения для распределения температуры, заданного в виде (2.29).

2.4.4. Решение системы алгебраических уравнений

Дискретные аналоги в виде (2.42) для внутренних расчетных точек и в виде (2.53) для граничных расчетных точек могут быть одновременно решены как система алгебраических уравнений. Мы уже встречались с таким решением в простой задаче (см. § 2.3). Построим эту процедуру в виде общего алгоритма решения. Так как дискретные аналоги имеют особую и простую форму, они могут быть решены очень эффективным алгоритмом, известным как TDMA (TriDiagonai-Matrix Algorithm). Название TDMA происходит из свойства матрицы коэффициентов дискретных аналогов: в этой матрице ненулевые элементы располагаются только на трех смежных диагоналях.

Пронумеруем расчетные точки, как показано на рис. 2.9. Здесь точки 7 и Л граничные, а 2, 3, N - \ - внутренние. Дискретные аналоги могут быть записаны в виде

а,Т, = й,Т,,, +с,Т, , (2.56)

Для i = 2, 3, N - 1 уравнение (2.56) соответствует обычному дискретному аналогу (2.42), при этом коэффициенты о,, й,, с, и d, очевидно, соответствуют коэффициентам ap,ag, и Ь. Для граничных точек / и мы должны записать уравнения в виде (2.53):

ajbj + d,; (2.57)

« = 7-!(2-58)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99