Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Поэтому будем интерпретировать коэффициенты i7£ и а термические проводимости между точками Р и W, а также между точками Р w Е. Коэффициент ар является суммой этих проводимостей.

2.4.2. Представление источникового члена

Рассмотрим ребро, присоединенное к твердой поверхности с температурой (рис. 2.6). Ребро обменивается теплом с окружающей жидкостью, имеющей температуру Т; коэффициент теплоотдачи равен h. Обычно такую ситуацию рассматривают как одномерную задачу теплопроводности, так как температура ребра почти одинакова в поперечном сечении и изменяется в основном вдоль оси х. Теплообмен ребра с окружающей жидкостью представляется в виде источникового члена. Дифференциальное уравнение для ребра с единичным сечением записывается в виде

d (, dT

+ (Гоо-70 = 0. (2.39)

Это уравнение приводится во многих учебниках по теплоперено-су. Во втором члене (2.39) Р и А соответствуют периметру и площади поперечного сечения ребра. Величина {hPIA){T - Т) характеризует теплообмен ребра с окружающей средой. Сравнив (2.1) и (2.39), можно определить источниковый член как

5=у(Гоо-Г). (2.40)

Ранее (см. п. 2.4.1) мы считали источниковый член S известным. Здесь же мы видим, что S зависит от неизвестной температуры Т. В данной ситуации очень важно учесть эту зависимость при построении дискретного аналога.

Для сетки, показанной на рис. 2.4, Тр может быть выбрано в качестве преобладающей температуры в контрольном объеме. Тогда средний источниковый член S зависит от Г/,.Выразим S как линейную функцию от Тр-.

S =Sc + SpTp. (2.41)

Здесь S- и Sp - постоянные в линейном выражении (линейная функция выбрана с той р„с. 2.6. Одномерная задача теплопрово-целью, чтобы полученные димости ребра

-А, Г„

Торец теплоизолирован



дискретные уравнения оставались линейными, что облегчает процесс решения. Однако, как будет показано в п. 2.5.4, существует возможность учета нелинейности зависимости 5(7) даже в рамках линейной теории).

Подставляя (2.41) в (2.35) и записывая дискретный аналог в форме (2.36), получаем несколько отличные от (2.376) и (2.37в) выражения для Qp и Ь. Для полноты выпишем окончательные выражения:

арТр = ajp + OtyTty + b, (2.42)

ар = air + а,у - SpAx; (2.436)

b = Scx. (2.43в)

Когда источниковый член не зависит от температуры, Sp становится нулевым, а S. равно известному значению S . При этом выражения (2.436) и (2.43в) превращаются в выражения (2.376) и (2.37в).

В одномерной задаче теплопроводности ребра, задав источниковый член в виде (2.40), получим:

Sc = -jT; (2.44)

Sp = ~~. (2.45)

Очень важно заметить, что значение Sp отрицательно. Следовательно, член -SpAx в выражении (2.436) дает положительную добавку к йр. Так как значение Ор должно быть положительным, то чрезвычайно желательно всегда работать с отрицательным Sp.K счастью, многие физические задачи, в частности задача теплопроводности ребра, рассмотренная здесь, вполне естественно приводят к отрицательному S/j.KaK поступать в ситуации, когда возможно появление положительного S, будет объяснено ниже (см. п. 2.5.4). Более подробное обсуждение подобного представления можно найти также в [6]. 38



2.4.3. Граничные условия

Решение физических задач зависит не только от вида дифференциальных уравнений, но и от граничных условий. Для области, изображенной на рис. 2.7, имеем дискретный аналог типа (2.42) для каждого контрольного объема, содержащего внутренюю (т.е. находящуюся внутри расчетной области) расчетную точку. Для решения этой системы уравнений необходима дополнительная информация об искомой функции в граничных точках.

Если на границе температура задана, то имеется достаточно алгебраических уравнений для нахождения неизвестных температур во внутренних точках. Вот почему мы смогли решить простую задачу, рассмотренную в § 2.3, без какого-либо сложного расчета граничных условии. Если температура на границе неизвестна, то должна быть известна какая-либо иная информация об искомой фукции (например, плотность теплового потока через поверхность границы). В этом случае необходимо получить дополнительное алгебраическое уравнение для расчета неизвестной температуры на соответствующей границе. В методе контрольного объема это уравнение следует из теплового баланса, записанного для «половинного» контрольного объема, прилегающего к границе. Одномерная область, показанная на рис. 2.7, имеет две границы. Так как дальнейшие действия с ними идентичны, то обсудим только левую границу. Подобные рассуждения применяются и для правой границы области.

На рис. 2.8 представлен увеличенный половинный контрольный объем, прилегающий к левой границе. Интегрируя (2.30) по этому контрольному объему, получаем

Я в - Я, + (Sc + SpTs)x = О, (2.46)

где источниковый член представлен как линейная функция от Tg. Заметим, что здесь Лх есть ширина половинного контрольного объема; эта Дх не то же самое, что Дх для обычного контрольного

Обычный контрольный объем


Половинный контрольный объем

Рис. 2.7. Одиомериая сетка с виутрепиими и граничными расчетными точками





0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99