Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

тором этапе погрешность станет настолько маленькой, что дальнейшее увеличение числа точек будет очень незначительно изменять решение. В таком случае численное решение может рассматриваться для любых практических целей как точное. Для многих задач, не имеющих аналитического решения, численное решение можно также рассматривать в качестве достаточно точного в случае, если при дальнейшем увеличении числа расчетных точек оно не изменяется.

2.4. СТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

После начального знакомства с методом контрольного объема разработаем его для задачи одномерной стационарной теплопроводности. В этом параграфе приведем основные особенности метода, а дальнейшие усовершенствования будут описаны в § 2.5. И, наконец, расширим метод для нестационарных задач в § 2.6.

Хотя гл. 2 посвящена разработке метода для одномерных задач, все идеи и результаты этой главы будут использоваться в гл. 5, где описывается метод для двумерных задач. На самом деле, чтобы методику, построенную должным образом в одномерном приближении распространить на двумерный случай, нужно очень немного дополнительных усилий. Таким образом, информация, приведенная в этой главе, служит фундаментом для всей дальнейшей работы.

2.4.1. Дискретный аналог

Для стационарной одномерной задачи теплопроводности уравнение (2.1) продолжает быть основным дифференциальным уравнением. Предположим, что теплопроводность к и источниковый член S непостоянны. Рассмотрим участок одномерной расчетной сетки, показанной на рис. 2.4. В отличие от сетки, приведенной на рис. 2.1, здесь нет необходимости рассматривать одинаковые расстояния между расчетными точками. Буквами W, Р w Е обозначены расчетные точки сетки: Р - рассматриваемая точка (Point), alVuE - соответственно «западная» (West) и «восточная» (East) соседние точки. Штриховыми линиями показаны грани контрольного объема, содержащего точку Р. Для обозначения этих граней используются буквы И и е. Точное положение граней контрольного объема будет обсуждаться позднее (см. п. 2.5.7), они могут не всегда располагаться посередине между расчетными точками. Расстояние между точками W w Р обозначим как (5х)„„ а между точками Р ц Е - как (бх). Ширину контрольного объема обозначим через Ах. 34




Рис. 2.4. Обобшеииая одиомерпая сетка

Рис. 2.5. Кусочно-линейный профн.1ь температуры

Запишем уравнение (2.1) в виде


dx

(2.30)

(2.31)

- плотность теплового потока.

Проинтегрировав (2.30) по контрольному объему, т.е. от w до е, получим

q,,-q, + \ Sdx = 0. (2.32)

Здесь первые два члена соответствуют плотностям входящего и выходящего потоков тепла, тогда как интеграл обозначает суммарную мощность генерации тепла в контрольном объеме.

Для представления и через температуры в расчетных точках

используем кусочно-линейный профиль, приведенный на рис. 2.2. Он также изображен на рис. 2.5 в общем случае неравномерной сетки. В результате получим

(2.33)

(2.34)

Индексы при теплопроводности к указывают на зависимость этой величины от х. Обсудим этот факт позднее (см. п. 2.5.2).



Для расчета интеграла от источникового члена обозначим среднюю мощность генерации тепла в контрольном объеме через S . Тогда

jSdx=SAx. (2.35)

Подставив (2.33)-(2.35) в выражение (2.32), получим дискретный аналог в виде

QpTp = аТ + OfyTiy + b, (2.36)

= V(5).; (2-37)

аи.= „,/(5х)„.; (2.37а)

ар = а£ + Оц/, (2.376)

b = SAx. (2.37b)

В общем дискретном аналоге (2.36) ар - коэффициент при Тр; air W йц, - коэффициенты при температурах в соседних узлах Е и W; b- постоянный член. Когда дискретньп1 аналог записан в форме (2.36), значения коэффициентов ар, а- и a, всегда положительны. Как мы убедимся позднее, это очень важное свойство, соответствующее сути физических процессов.

Так как (2.36) записано для одномерного случая, расчетная точка Р имеет только две соседние точки (одну в положительном направлении оси X, а другую - в отрицательном). Следовательно, их будет четыре в двумерном случае и шесть в трехмерном. Для удобства перепишем (2.36) в более общем виде:

арТр = 1а„,Г„, + Ь, (2.38)

где индекс пЬ соответствует соседней точке (neighbor - сосед) и суммирование ведется по всем соседним точкам.

Пора, вероятно, прокомментировать физический смысл выражений для коэффициентов (2.37)-(2.37в). Для одномерной сетки, показанной на рис. 2.4, пред1Юложим, что площадь поперечного сечения контрольного объема (перпендикулярного оси х) равна единице. Тогда грани контрольного объема имеют единичную площадь, а Дх соответствует объему КО. Так как S есть средняя мощность генерации тепла в единице объема, то постоянный член b [см. (2.37в)] является полной мощностью генерации тепла в контрольном объеме. Из (2.34) видно, что (5.г) : есть термическое сопротивление теплопереносу между точками Р ц Е. Выражение (2.37) для а является обратным ему.





0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99