Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

диффузионному потоку. Таким образом, плотность диффузионного потока в направлении х задается в виде

Л = -Г, (3.3)

где Г - обобщенный коэффициент диффузии.

Обобщенное дифференциальное уравнение, представляющее закон сохранения для ф, может быть записано в виде

Эф д („д\ д („д\ Э („ Эф

dt дх

ду \ ду

где А, - величина, подобная объемной теплоемкости; S - мощность генерации соответствующей физической величины в единице объема.

Сравнивая уравнение теплопроводности (3.2) с обобщенным дифференциальным уравнением (3.4), заключаем, что для того чтобы обобщенное уравнение описывало процесс теплопроводности, нужно сделать следующую замену:

ф = Г; Х = рс; Г = к; S = S. (3.5)

В общем случае для каждого значения ф существуют соответствующие значения величин А,, Г и S (на самом деле величины А,, Г и 5 следовало бы обозначить как Аф, Гф и S, но индекс «ф» для удобства записи будет в большинстве случаев опущен). В простой задаче эти величины могут быть постоянными, но в общем случае нет ничего необычного в том, что они зависят от пространственных координат и времени, а также от самой переменной ф.

Связь между переменными. Конкретная задача может иметь в качестве искомых переменных более одной переменной, описываемой обобщенным дифференциальным уравнением. Например, в смеси многих химических компонент зависимыми переменными являются концентрации отдельных компонент. При расчете вынужденной конвекции в канале нужно получить как продольную скорость, так и температуру, решив соответствующие уравнения вида (3.4). В процессах с плазмой зависимая переменная ф может представлять собой как температуру электронов, так и температуру тяжелых частиц. Часто поля зависимых переменных ф взаимосвязаны, т.е. величины А, Г и 5 для одной переменной ф могут зависеть от значений другой переменной ф. Поэтому общая вычислительная задача может состоять в решении системы нелинейных и взаимосвязанных дифференциальных уравнений вида (3.4).



Тензорные обозначения. Обобщенное дифференциальное уравнение (3.4) записано в декартовой системе координат. Более компактно оно может быть записано в тензорных обозначениях:

Л - - -

+ S,

(3.6)

где применено соглашение о суммировании по повторяющемуся индексу. Например, для трехмерного случая можно записать

дх..

Э.х,,

(3.7)

здесь Х, Xj и Хз - декартовы координаты (х, и z) по трем направлениям. Будем называть три члена уравнения (3.6) нестационарным, диффузионным и источииковым членом соответственно.

В более общем виде выражение для плотности диффузионного потока (3.3) может быть записано следующим образом:

дх.

(3.8)

где J, - плотность диффузионного потока в направлении координаты х,. Диффузионный член в (3.6) удобно представить в виде

Эф Эх„

дх. I

(3.9)

Выражения для диффузионного члена в трех системах координат. Сфокусируем внимание на двумерных задачах, сформулированных в одной из трех координатных систем, представленных в § 1.2. Выражения для ЭУ/Эх, в этих системах имеют вид:

ЭЛ aj, Э7

(3.10)

(, г)-- =

дх. дх

13,,, + 7 Tv у

(3.11)

га л 1 Э , ,

(9, г): ч- =- + - Т {rJ дх г dQ г ду У

(3.12)

В уравнениях (3.1!) и (3.!2)> и г являются координатами в радиальном направлении. Разница между ними заключается только в том, что координата г должна измеряться от оси симметрии или от



полюса, в то время как координата} может быть выбрана произвольно. Таким образом,

у = г + некоторая постоянная. (3.13) Плотности потоков J, Jy, Jq (3.10)-(3.12) соотносятся с градиентами ф следующим образом:

Л = -Г»; (3.14)

J,-rf. (3.15,

Для удобства все производные будем рассматривать только в декартовой системе координат (х, у). Однако легко могут быть получены их выражения и в других двух системах.

3.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

В задачах, подобных задачам теплопроводности, обычно встречаются три типа граничных условий. На границе или определено значение ф, или задана плотность потока J, (по нормали к поверхности границы), или описана зависимость между плотностью потока и граничным значением ф. Мы рассматривали эти граничные условия в гл. 2 для одномерной задачи теплопроводности. В общем случае вычислительный метод и компьютерная программа должны иметь возможность реализации этих граничных условий для каждой зависимой переменной.

3.4. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Физические переменные, использованные в этой главе и в вычислительной программе CONDUCT, должны быть в общем случае рассмотрены как размерные величины, выраженные в любой согласованной системе единиц. В вычислительной программе не существует никаких множителей для пересчета единиц измерения. Поэтому нужна аккуратность при использовании величин в британских единицах. При использовании стандартной системы единиц СИ никаких трудностей не возникает. Результаты, полученные CONDUCT, должны рассматриваться как значения реальных физических величин точно так же, как и результаты лабораторного эксперимента.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99