Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Если Т рассматривать как абсолютную температуру (что существенно при наличии излучения), то Гд всегда будет положительной. Поэтому при расчете по (2.89а) получаем отрицательное значение ,. Коэффициенты и fp, заданные в виде (2.89) и (2.89а), должны пе-ресчитываться на каждой итерации.

2.5.6. Релаксации

При итерационном решении нелинейной задачи поле температуры меняется после каждой итерации, поэтому коэффициенты в дискретных уравнениях пересчитываются. Если от итерации к итерации эти коэффициенты меняются значительно, мы рискуем получить расходящийся процесс. Поэтому для существенно нелинейной задачи желательно замедлить изменение температуры от итерации к итерации. Это достигается с помощью релаксации. Использование релаксаций не влияет на поле температуры в конечном сошедшемся решении, оно оказывает влияние только на сам процесс сходимости.

Существует множество различных способов введения релаксации. Обсудим только частный случай. Для начала рассмотрим уравнение (2.36) без источникового члена:

(а + а„,)Гр= aji, + ау (2.90)

Обобщив эту запись согласно (2.38), получим

il.b)Tp = c„J„,. (2.91)

Из этого уравнения следует, что Тр является средней от значений соседних температур, взятых с некоторыми весами. Если эту величину обозначим через Г , получим

=Щ. (2.92)

Для замедления изменений Тр от итерации к итерации предполо-

жим, что новое значение Тр будет комбинацией Тр и значения Тр, взятого с предыдущей итерации. Таким образом, имеем

Тр = аТр + {\-а)Т;, (2.93)

где а - коэффициент релаксации, О < а < 1.

Подставив (2.92) в (2.93) и сделав преобразования, получим

{a„, + i)Tp = a„J„, + iT;, (2.94)



где I - так называемая инерция, заданная в виде

=5:"*- (2-95)

Этот способ введения релаксации может быть обобщен на случай полного дискретного аналога (2.38) с источниковыми членами и другими усложнениями. В дальнейщем будем вводить релаксацию заменой (2.38) на выражение

{a, + i)Tp = Ja„J„, + b + iT;, (2.96)

где инерция / задана в виде (2.95).

Следует отметить, что введение инерции не меняет сошедшегося

решения. Когда оно достигается, то Тр = Тр и выполнение уравнения

(2.96) влечет за собой выполнение первоначального уравнения (2.38). Инерция равна нулю, когда а = 1. Для меньших значений а роль

инерции заключается в поддержании нового Гр близким к Тр. При а

стремящемся к нулю Тр стремится к Тр. Конечно, коэффициент а

всегда должен быть отличен от нуля.

Каково наилучшее значение а для заданной задачи? К сожалению, на этот счет не существует каких-либо общих правил. Оптимальное значение а зависит от природы нелинейности, числа расчетных точек, граничных условий и других факторов. Вам придется находить подходящее значение а с помощью предварительных расчетов для заданной задачи. Но все же приятно осознавать, что для нелинейных задач мы можем справиться с возможной расходимостью посредством использования релаксаций.

Все эти рассуждения относятся к релаксации, налагаемой на зависимую переменную Т. В дополнение к этому можно налагать релаксации и на вспомогательные величины, такие как теплопроводность к. Если к зависит от Т, то на каждой итерации можно использовать

= аА:, + (1-а)„, (2.97)

где А-,, - теплопроводность, полученная при повой температуре; к.. - теплопроводность при температуре, взятой с предыдущей итерации; а - коэффициенг релаксации, который не обязательно имеет то же значение, что в (2.95).

Точно так же можно налагать релаксации на источниковые члены, значения величин на границах и др. Нашей целью является достижение контролируемого и постепенного приближения решения к конечному сошедшемуся решению без больших скачков и колебаний, которые могут возникать без релаксаций.



2.5.7. Построение контрольных объемов

Получая дискретный аналог (см. п. 2.4.1), мы не фиксировали положение граней контрольного объема w и е по отношению к расположению расчетных точек W, Р и Е. Рассматривая пример в п. 2.4.5, предполагали, что грани контрольных объемов лежат точно посередине между расчетными точками. Это один из возможных способов построения контрольных объемов. Назовем его способом А. Существует и другой способ, который назовем способом В. Он будет использоваться в дальнейшем в книге и в вычислительной программе CONDUCT. Опишем эти два способа. Для начальных исследований одномерных задач можно использовать способ А. Однако вся дальнейшая работа с двумерными задачами будет связана со способом В.

Особенности способа А. На рис. 2.12 показано положение граней контрольных объемов при использовании способа А. При этом способе разбиения сначала расставляются расчетные точки в области на нужном расстоянии одна от другой, не обязательно одинаковом для всех точек. Расчетные точки помещаются также на каждую границу. Затем располагаются грани контрольных объемов точно посередине между расчетными точками. Получаются обычные контрольные объемы у внутренних точек и половинные у границ области. При неравномерной сетке, несмотря на то что каждая грань располагается всегда посередине между точками, сами точки не обязательно лежат в центре соответствующих контрольных объемов.

Особенности способа В. В общем случае задачи теплопроводности могут допускать разрывы в распределении теплопроводности или скорости генерации тепла в одном месте или более внутри расчетной области. В рамках вычислительного метода предполагается, что эти величины постоянны в каждом контрольном объеме и допускаются разрывы на гранях (как показано на рис. 2.10 для теплопроводности). Поэтому важно, чтобы грани контрольных объемов располагались в местах разрывов. В рамках способа А, так как сначала расставляются расчетные точки, часто сложно быть уверенным в том, что получившиеся грани контрольных объемов попадут в нужные места. Способ В разработан для устранения этого недостатка.

I I I I I I I lip

С>К>4<>Ч-о4<>4<>Ч-ч>К>т<

I I I.....I I

Рнс. 2.12. Раснилижение расчетных точек и гранен контрольных обьемов при нснользопаннн способа Л





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99