Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

фициенты в дискретном аналоге должны быть положительными, чтобы обеспечить сходимость. Так, настоятельная рекомендация, состоящая в том, что Sp в выражении для источникового члена (2.41) должно иметь отрицательные значения, является решающей для удачной сходимости процесса. По той же причине необходимо, чтобы коэффициент/р в граничных условиях (2.50) был меньше нуля. Дальнейшие ограничения, позволяющие избежать расходимость, будут обсуждаться в п. 2.5.6.

Использование итераций позволяет, по крайней мере в принципе, решить любую нелинейную задачу. Хотя мы проходим через серию номинально линейных уравнений, окончательное сошедшееся решение является, в свою очередь, точным решением нелинейной задачи.

2.5.4. Линеаризация источникового члена

Общие соображения. В уравнении (2.41) мы выразили осреднен-ный источниковый член в контрольном объеме как линейную функцию от Гр. Когда источниковый член является нелинейной функцией от температуры, величины и Sp, в свою очередь, также становятся функциями от температуры и должны итерационно пересчитывать-ся. Существует множество способов «линеаризации» источникового члена, т.е. нахождения выражений для 5 и Sp. Рассмотрим тот, который является наиболее желательным. Однако не следует игнорировать и другие способы.

Пусть Т*р представляет собой текущую оценку для Тр. Это может быть начальное заданное значение или значение, полученное на предыдущей итерации. Если источниковый член 5* является функцией от Т то можно аппроксимировать эту функцию как

S = S* +

(Тр-Тр), (2.83)

где Тр - неизвестная температура.

Если сравнить это выражение с формулой

S=Sc + SpTp, (2.84)

то можно получить

Sc=S -

Тр, (2.85)



/н V л

Будем использовать подобную практику только тогда, когда это не приводит к значениям 5р < 0. В противном случае коэффициент Sp должен быть положен равным нулю, а источниковый член должен целиком выражаться через 5.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить эту ситуацию.

Примеры. Применим эти положения к некоторым специальным случаям.

1. 5 = 7-37. Очевидно, что здесь S( = 7, Sp = -3.

2. 5 = 6 + 57. Если возьмем S = 6 н Sp = 5, получим положительное значение Sp, что нежелательно. Поэтому используем 5 =

= 6 + 57р и 5р = 0. Конечно Sq необходимо будет итерационно пересчитывать.

3. S = 2 -ЗТ. Воспользуемся соотношениями (2.85) и (2.85а).

• 3 * 2

В результате получим S = 2 + 6{Tp) и Sp = -9(Тр) . Так как Sp всегда будет меньше нуля, это приемлемая линеаризация.

4. 5 = 2 + ЗГ. Применение выражения (2.85а) здесь привело бы к

положительному значению Sp. Поэтому используем S = 2 + ЗТр и Sp = 0.

Заключительные замечания. Линеаризация является очень полезной процедурой для представления источникового члена, зависящего от температуры. Она позволяет предугадывать изменения источникового члена, соответствующие изменениям температуры. Однако, чтобы избежать возможной расходимости, мы не используем формулировки, которые могут привести к положительным значениям Sp. Существует большая свобода в выборе конкретных формул для коэффициентов S(j и Sp, обеспечивающих условие Sp<0 и соответствие (при сходимости итераций) рассчитанного по (2.84) источникового члена заданной функции 5 =/(7).

Можно протестировать различные альтернативные записи 5 и Sp и сравнить соответствующие скорости сходимости. В итоге мы обнаружим, что формулировка, основанная на (2.85) и (2.85а), сходится быстрее всего.

Выражение (2.84) используется не только для линеаризации «истинных» источниковых членов, оно оказывается полезным при реализации областей нерегулярной геометрической формы. Это нестандартное использование источникового члена будет описано ниже (см. § 7.6).



2.5.5. Линеаризация граничных условий

При реализации граничных условий мы выражали плотность теплового потока через границу qg [см. (2.50)] в виде линейной функции от температуры на границе Т. Коэффициенты и fp в (2.50) играют ту же роль, что и коэффициенты 5, Sp в (2.41). Поэтому рассуждения о линеаризации источникового члена также применимы и к линеаризации плотности теплового потока на границе. Когда является нелинейной функцией от Гд, коэффициенты /(-- и fp *

выражаются через Гд (текущую оценку Гд) и должны быть пересчитаны на каждой итерации. Коэффициент/р при этом должен быть меньше или равен нулю.

Нелинейную зависимость q = ATg) будем линеаризовывать как

Чв = Чв +

Сравнивая это выражение с (2.50), получаем

fc = 4B-

dq

(2.86)

(2.87)

(2.87а)

Очевидно сходство этих выражений с выражениями (2.85) и (2.85а). Еще раз следует отметить, что мы не должны использовать (2.87) и (2.87а), если это приводит к положительному значению fp (такие физические ситуации чрезвычайно редки; практически всегда естественным образом будут получаться отрицательные значения fp).

В качестве примера рассмотрим следующее выражение для плотности теплового потока на границе:

<7й = 5(Г-Гд) + 2(Г-Гд).

(2.88)

Здесь два слагаемых описывают конвективный теплоперенос и излучение тепла соответственно. С использованием (2.87) и (2.87а) получим:

/с=5Г + 2Г+6(Г;/; /р = -(5 + 8(Г;)).

(2.89)

(2.89а)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99