Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Используя (2.70), (2.71), можно записать полную систему дискретных аналогов в виде:

Г, = 200; (2.72)

(2.72а)

12473 = 5ОГ4 + 5072 + 2400; (2.726)

(2.72В) (2.72г) (2.72Д)

Решение уравнений. Для решения уравнений можем применить алгоритм прогонки (см. п. 2.4.4). Значения коэффициентов о,, й,, с, и

берутся из (2.72)-(2.72д). Остальные величины рассчитываются согласно алгоритму. Ниже приведены полученные результаты:

124Г4 = 5ОГ5 + 5ОГ3 + 2400 1245 = 50Г + 5ОГ4 + 2400 62Г = 5ОГ5 + 1200.

Пока-

Значение /

затель

2400

2400

2400

2400

1200

0,4032

0,4815

0,5004

0,5051

71,26

59,68

54,39

106,68

150,84

126,09

113,86

108,28

106,68

Сравнение с точным решением. Для задачи о теплопроводности ребра уравнение (2.39) с граничными условиями (2.67), (2.67а) может быть решено аналитически. Решение выглядит следующим образом:

т-т.............. ..

(2.73)

cosh [m(L-х)]

cosh {mL)

= hPI{kA). (2.74)

Сравним наше численное решение со значениями Г, полученными в расчетных точках по (2.73). Это сравнение приведено ниже:

Пока-

Значение/

затель

числ

150,84

126,09

113,86

108,28

106,68

точ

150,16

125,38

113,28

107,82

106.25



Видно, что численное решение очень хорошо согласуется с точным. Это особенно впечатляет, если отметить, что для его получения использовано только несколько расчетных точек. При желании можно продолжить исследование этого решения, увеличивая число расчетных точек. В результате обнаружится, что численное решение приближается к точному.

Плотность теплового потока через границу. Плотность теплового потока q у основания ребра (х = 0) может быть вычислена из уравнения (2.55) для половинного контрольного объема у этой границы. Используя заданные в этой задаче величины, получаем

?.,ч„сл = 3657,9. (2.75)

Плотность граничного теплового потока q, найденная из точного решения (2.73), имеет вид

q = (ЬРШУНТа - Т) tghimL). (2.76)

Подставляя известные данные, получаем

q,,, = 3457,3. (2.77)

Снова видно хорошее совпадение численного и точного решений.

Наконец, можно проверить общий тепловой баланс для нашего численного решения. Подсчитаем источниковый член ( + SpTp)Ax для каждого контрольного объема (включая и два половинных контрольных объема). Сумма всех этих членов должна равняться плотности теплового потока q у основания ребра. Таким образом, можно показать, что, даже если используется всего несколько расчетных точек, тепловой баланс в точности выполняется (с учетом погрешностей округления калькулятора или компьютера).

Важное отступление. Обсудим особую роль температуры в задачах теплопроводности. В большинстве случаев температура проявляет себя как некоторый потенциал, т.е. поток тепла вызывается разностью температур, а само значение температуры не оказывает на него влияния. В рассмотренной задаче вместо Г, = 200

и = 100 мы могли бы использовать или = 250 и То = 150, или Т= 100 и = О, или = 2000 и = 1900. Тогда наше решение для Т просто отличалось бы на постоянное значение. Задача определяется именно разностью температур - Т, а не абсолютными значениями и Т.

Бесспорно, что значение температуры влияет на такие физические свойства, как теплопроводность и теплоемкость. Но для многих задач это влияние может рассматриваться как эффект второго порядка малости. Процессы теплопроводности да и конвекции в первую очередь определяются разностями температур, а не конкретными



их значениями. Ситуация изменяется радикальным образом, когда рассматривается тепловое излучение. Плотность потока излучения пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени. В этом случае очевидно, что температура играет особую роль, и ее значения не могут быть изменены на произвольную константу.

С учетом этого обсудим некоторую часто совершаемую ошибку. После получения численных и точных значений температуры желательно подсчитать относительную погрешность, которая возникает при численном решении. Можно было бы определить относительную погрешность как (Т - Т.очУтг ошибочно находить относительную погрешность таким образом в задачах теплопроводности и конвекции, так как в этом случае абсолютная температура оказывается необоснованно важной характеристикой, хотя она может быть уменьшена или увеличена на произвольную константу. Погрешность будет гораздо меньше, если мы используем = 2000 и Го 1900 вместо = 200 и = 100. Тем не менее мы решаем, по существу, одну и ту же задачу. Погрешность станет огромной, если локальное значение Т. окажется близким к нулю. Мы должны помнить, что для расчета теплопроводности важны только разности температур, а не их абсолютные значения. Удовлетворительно определить относительную погрешность по температуре можно в виде (числ " точМ/) оо)- Для данной физичсской задачи характерной является разность температур - Т, поэтому целесообразно оценивать погрешность численного решения по отношению к этой разности. В общем случае удобно найти относительную погрешность в ви-Де {Т„,„ - ТточУСтах " Тт) гДС Грах И шш - максимальная и минимальная температуры, задаваемые точным решением.

Эти рассуждения о температуре также применимы к таким величинам, как давление, потенциал скорости и электростатический потенциал. Абсолютные значения этих величин могут произвольно меняться, важны только их разности. Однако подобные рассуждения не применимы к другим физическим величинам. Например, при сравнении значений плотностей теплового потока [см. (2.75) и (2.77)] относительная погрешность может быть определена как

,точ

2.5. ДАЛЬНЕЙШИЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ

Завершив построение основ численного метода для решений одномерных задач теплопроводности, обсудим некоторые дополнительные особенности. Это обеспечит необходимый фундамент для дальнейшей работы с двумерными задачами.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99