Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

I/ 2 3 N-l N

-o-о-о-o-

Рис. 2.9. Нумерация расчетных точек

где о,, и d - то же, что н ад, О/ и b в уравнении (2.53), подобное соответствие имеет место и для Од, Ьр и d.

Так как граничные точки имеют только по одной соседней точке, то выражения (2.57) и (2.58) могут рассматриваться в виде (2.56), если положить

с, =0 и bf = 0. (2.59)

Строго говоря, граничные уравнения (2.57) и (2.58) получаются из (2.53), когда в каком-либо виде задана плотность потока тепла через границу. Что же делать, когда на границе задана температура? Можно также использовать выражения (2.57) и (2.58) для температур на границах, но определить коэффициенты в них таким образом, чтобы получить заданное значение, т.е., если задано Г,, положить

о, = 1, й, = 0 и , = Г,. (2.60)

Аналогично следует поступить, если задано значение Гд,. Целесообразно всегда рассматривать Г, и Гд, в качестве неизвестных (даже когда их значения заданы), что позволяет использовать Луравнений для N неизвестных при любых комбинациях граничных условий.

Алгоритм ТОМА начинается с записи уравнения (2.57) в виде

T,=PJ + Q„ (2.61)

Р= b/aнQ=d/a. (2.62)

Соотношение (2.61) подставляется в (2.56) для / = 2. В результате получается, что выражается через Г3. Продолжая процесс последовательной подстановки (или прямой прогонки), можно выразить Г, через Г,.+ ,:

Г, = Г,Г,,,+е„ (2.63)

где Г, и Qj - новые коэффициенты, появившиеся в процессе подстановки.



Представим, что мы находимся на стадии процесса подстановок, когда только что выразили в виде

г, , = Л-,7, + е,-1- (2-64)

Если подставить (2.64) в (2.56), то получится выражение

a,T = b,T,,, + c,{P, J, + Q,,) + d, (2.65)

которое может быть переписано в форме (2.63). Таким образом, можно получить формулы для и Qf.

Кстати заметим, что знаменатели в выражениях (2.66) и (2.66а) одинаковые.

Выражения (2.66) и (2.66а) рекурсивные, т.е. и зависят от значений /*, и Qj \. Такой рекурсивный процесс нуждается в отправной точке. Она обеспечивается выражениями (2.62), которые не рекурсивны.

Перейдя к вычислению Рд, и Qj, можно обнаружить, что, так как bpj = О, Рд, тоже будет равно нулю (см. (2.59) и (2.66)). В результате согласно (2.63) Гу будет равно Qj. Рассчитав таким образом значение Гд., можно начать процесс обратной прогонки с использованием формулы (2.63) для получения Гд, ,, Т/ 2, Т2 п Т.

Итоговый алгоритм решения. Алгоритм TDMA может быть разбит на следующие шаги.

1. Вычисляем P и по выражениям (2.62).

2. Получаем Р и для / = 2, 3, N, используя рекурсивные выражения (2.66) и (2.66а).

3. Полагаем 7д, = Qpj.

4. Подставляем найденные значения величин в формулу (2.63) для i = N- \, N-2..... 1 и определяем Гд. ,, Гд, j, ..., Г,.

Такой метод прямой прогонки доступен только для одномерных задач. Однако, как мы увидим позднее (см. § 5.6), алгоритм TDMA играет важную роль и в решении двумерных уравнений. 44



2.4.5. Типовая задача

Применим разработанную методику к одномерной задаче теплопроводности ребра, приведенной на рис. 2.6. Эта задача позволит получить опыт практически во всех аспектах вычислительной процедуры и оценить возможности численного метода.

Задача описывается уравнением (2.39) и граничными условиями

Г=7;прид: = 0, (2.67)

g/j = О (теплоизолированная граница) при х = L. (2.67а) Будем использовать следующие заданные величины:

Г, = 200; = 100; Л- = 50; L = 5; h = П; Р = в; А = Ъ. (2.68)

Здесь, как и в § 2.3, для физических величин не приведены единицы измерения. Подразумевается, что значения даны в произвольной согласованной системе единиц. На практике, конечно, будет удобнее пользоваться конкретной системой единиц и присваивать физическим параметрам фактические значения.

Дискретные аналоги. Снова будем использовать простую равномерную сетку, изображенную на рис. 2.3, для которой 5х = 1. В этом случае обычные контрольные объемы имеют ширину Лх = 1, а половинные - Дх = 0,5.

Для контрольных объемов, содержащих расчетные точки 2-5, применяется уравнение (2.42). Величины и Sp для источникового члена в этой задаче заданы в виде (2.44) и (2.45). Подставляя в эти формулы численные значения (см. (2.68)), получаем

Sc = 2400 и Sp = -24. (2.69)

Затем можно будет вычислить коэффициенты в уравнении (2.42) согласно выражениям (2.43)-(2.43в). Таким образом, для четырех внутренних контрольных объемов будем иметь:

= 50; = 50; = 124; i = 2400. (2.70)

Так как температура на границе неизвестна, нужно записать уравнение для половинного контрольного объема на правой границе. Это уравнение имеет вид (2.48). В граничном условии (2.67а) плотность теплового потока через границу задана равной нулю. Численные значения коэффициентов в этом уравнении для половинного контрольного объема могут быть получены по (2.49)-(2.496):

0; = 50; cig = 62; i = 1200. (2.71)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99