|
| |
|
Главная Журналы и использовано соотношение дх dV * (13.1426) Заметим, что параметр * в задаче о свободной конвекции аналогичен параметру , определенному формулой (13.61а), в задаче о вынужденной конвекции. Граничные условия (13.127) и (13.128) к уравнению движения преобразуются к виду / = -1 = 0 прн Т1 = 0, Л. дц при т]->оо, (13.143а) (13.1436) а граничные условия (13.129) и (13 130) к уравнению энергии к виду 9=1 при 11 = 0, (13.143b) 0 = 9 при ц-оо. (13.143г> Преобразованные уравнения движения и энергии (13.140) и (13.141) содержат частные производные по независимой переменной поэтому необходимы дополнительные граничные условия. В качестве таковых выбраны следующие: е = 8о и f = fo при Г = 0, (13.144) где /о и 9о - решения уравнений движения и энергии для случая отсутствия излучения. Член, характеризующий поток результирующего излучения и входящий в уравнение энергии, находится из уравнення переноса излучения, записанного через оптическую толщину т, которая равна t = y, (13.145) в то время как в уравнение энергии входит независимая переменная т], которая равна Связь между т и т] можно получить из (13.145) и (13.146): т = Гп- (13,147) Теперь мы имеем полное математическое описание рассматриваемой задачи о совместном действии свободной конвекции и излучения. Нахождение поля температур в жидкости требует совместного решения уравнений движения, энергии и уравнения переноса излучения Рассмотрим теперь различные методы ре- шения этих уравнений, используя для решения радиационной части задачи: 1) приближение оптически толстого слоя, 2) точный метод, основанный на разложении по собственным функциям Кейса. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТОГО СЛОЯ Безразмерная плотность потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя равна [см формулу (1382)] ае дх • (13.148) Переходя от переменной т к т] с помощью (13.147), получим Если подставить это выражение в уравнение энергии, то можно показать, что имеет место полная автомодельность, и уравнения движения и энергии преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные по т]. В результате получаем 3<V Рг dr\ V dii ) 1 d В . d9 Рг dn d 1 d РГ .Л(+0]+1 = « 89(т1) и ff(Ti). Граничные условия (13.143) преобразуются к виду и 9=1 прн Т1 = 0, = 0 и 9 = 0 прн т] оо f = -f = 0 dr\ (13.150) (13.151а) (13.1516) (13.152) (13.153а) (13.1536) Совместное решение уравнений (13.150) и (13.151) с граничными условиями (13.153) позволяет получить распределение температуры в пограничном слое. Для решения этих уравнений можно использовать численные методы, например метод Рунге- Кутта. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАЗ-ЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ Для решения раднацнонной части задачи н нахождения точного выражения для радиационного члена дО1дц (илн dQ/dx), входящего в уравнение энергии, можно использовать метод разложения по собственным функциям. Будем рассматривать жидкость как поглощающую, излучающую, изотропно рассеивающую, серую, локально плоскопараллельную, полубесконечную (О т <; оо) среду с температурой 7"(т, *)- Поверхность стенки является диффузно излучающей, зеркально отражающей, непрозрачной и серой. Температура поверхности всюду одинакова и равна Гц,- В этом случае уравнение переноса излучения в безразмерном виде записывается следующим образом: а/ (т, г. \i) дх + /(т, V, ix)-(l-a))8Vt, П + \l{x,V,}x)dp, приО<т<оо, - (13.154) а граничные условия - /(О, Г, lA) = e + (l-eJ/(0, Г, -Р). Р>0. (13.155а) ]im/(T, Г, i)->Ip{r, Г, (), (13.1556) где /р(т, I*, р,) -частное решение уравнения переноса излучения, &u, - степень черноты стенки, 8 (т, ) - безразмерная температура, которая определяется выражением (13.138а). Безразмерная плотность потока результирующего излучения Q связана с безразмерной интенсивностью излучения соотношением Qix,V) = j \ l{x, с, 1А)иФ. (13.156) Следовательно, если известна интенсивность излучения 1{х, р), то можно вычислить радиационный член, входящий в уравнение энергии (13.141). Общее решение уравнения переноса излучения (13.154) можно записать в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения 1р{х, t,*, р): / (t, t*, \i] = A (Vo, ь*) Ф (Vo, ii) e--* + 1 4- \ A(v, n(v, iA)e--/Mv + /p(T, V, (13.157) *то решение удовлетворяет граничному условию (13.1556), так как в решение однородного уравнения не вошел член, который )асходится на бесконечности. Здесь ф(vo, р)-дискретная соб-J Ственная функция н (p(v, р)- непрерывная собственная функция, I Определенные в гл. 10 [см. (10.8) и (10.16)], а два дискретных собственных значения vo являются корнями дисперсионного соотношения (10.9). Два коэффициента разлоления .4 (vo, ?") и A{v,t,*) находятся из условия, чтобы решение (l3.l57j удовлетворяло граничному условию (13.155а), с последующим использованием свойства ортогональности собственных функций н различных интегралов нормировки, как было описано в гл. 10 и П илн в работе [43]. Однако решение (13.157) содержит частное решение, которое не может быть найдено до тех пор, пока не известен член 94f, ?*), входящий в уравнение переноса излучения. Предположим теперь, что известно некоторое начальное приближение для распределения температуры 9(т, Г) и что функцию 9*(т, 1*) можно представить в виде et, n = 0i + 5(T. t\ (13.158) где функция 5 (т, *) задается внутри теплового пограничного слоя (т. е. при О т То или О ii гю), а за его пределами обращается в нуль (т.е. прн т >• та). Функцию S{r, ?*) внутри пограничного слоя представим в виде конечного ряда вида м Six, Г)- 7,-(Пс05- т=0 М = Yrn COS при 0<т<То, (13.159) при 0<т1<По (13.160) и предположим, что коэффициенты Вт{1*) можно определить, если известна функция S{x, Г)- Тогда свободный член (1 а)9*(т, С*) можно представить следующим образом: (1-(о)еМт, Г) =(!-«) + yBm{V) COS (13.161) \ Частное решение /р(т, р) уравнения переноса излучения [ (13.155) со свободным членом в виде (13.161) легко получить, { воспользовавшись табл. 10,6. Оно имеет вид \ /Лт, Г. iA) = eL + (i-) Уб.(Г)Х чу ГЛо/" [(rio/Jt) tos (ffl"n/no) + sin (тяп/тю)! (362) 11 - ((оГ-Пс/пя) Arctg(mn/S*no)] [(ГЛо/тя) + М-] Если для принятого распределения температуры частное решение известно, то можно найтн соответствующие коэффициенты разложения Л(то, и A(v, *), и тогда безразмерная иитеисивиость излучения /*(т, V, х) находится по форму1е (13.157), а для безразмерной плотности погока результирующего излучения Qii, с помощью (13.156) можно получить выражение Qix, = -со) Vo4(vo, Oe---lvAiv, Оеdv-{ + Т= . (13.163) Переходя от независимой переменной т к т), преобразуем выражение ([3.163) к виду Q4n. Г) = (1 -со) VoA{vo, ;)efn;v. ] (v, ne--*rfv + Дифференцируя (13.164) по ц, получаем (13.164) Г(1-со) + 54(v, De-trfv-Tj- \-Ipm,V,li)ldix ,(13.165) где Iр{ц, t*, vl) определяется с помощью (13,162). Формула (13.[65) представляет собой искомое выражение для радиационного члена, входящего в уравнение энергии (13.141). В окончательном виде уравнения движения и энергии (13.140) и (13.14)) запишутся следующим образом; дц 1 дц Удц) "i" l-e Хддц дц dV дцЧ (13.166) 1 д-Q , dQ дВ df oQ Pr дц + 3/ дц dt* dt* дц 1 i.»2 -(•-») ДП5Г .4(vo. D-S -\-\A(v, V)e~-!dv~- 4y\~dpi*\)Vd (13.167) Пограничный слой в непрозрачных средах Уравнения (13.166) и (13.167) с граничными условиями (13.143) и (13.144) можно решить численно итерационным методом и тем самым найти распределение температуры в жидкости. В технических приложениях представляет интерес плотность полного теплового потока на стенке t/u,. Если известно распределение температуры, то безразмерная плотность полного теплового потока на стенке описывается выражением Qw 4naTt Т = 0 t дц (13.168) где для безразмерной плотности потока результирующего излучения Qlio можно записать [см. (13.164)] Vo4(vo, V) + \vA(v, nv4-о 13.169) В теории теплообмена обычно используется локальное число Нуссельта hx k k (T- - Too) 13.170) где h - локальный коэффициент теплоотдачи. После подстановки (7ш из (13.168) в (13.170) локальное число Нуссельта для совместного теплообмена свободной конвекцией и излучением запишется как Gr I Nu(-) = - (13.171 Для очень малых значений */Л радиационным членом (13.171) можно пренебречь, тогда получим выражение, совпадающее с выражением для локального числа Нуссельта при свободной конвекции в иеизлучающей жидкости, полученным в работе [44]. [ МЕТОД РЕШЕНИЯ И ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ i В работе [26] было осуществлено преобразование дифферен- циальных уравнений в частных производных (13.166) и (13.167) V в обыкновенные дифференциальные уравнения с производными по г с помощью метода конечных разностей относительно переменной 1". Полученные уравнения с граничными условиями (13 143) и (13.144) решались итерационным методом. Чтобы начать вычисления в узловой точке в качестве начального приближения использовалось распределение температуры 9(т, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 |