|
| |
|
Главная Журналы Граничные условия к уравнению движения (13.91) имеют df dri при Т1->СО, (13.94а) (13.946) Эти условия означают, что составляющие скорости равны нулю на стенке и и = за пределами пограничного слоя. К уравнению •энергии (13,92) взяты следующие граничные условия: а) к стенке подводится постоянный тепловой поток с плотностью Qu,; 6) за пределами теплового пограничного слоя температура равна температуре внешнего потока 7оо; в) при = О решение уравнения энергии совпадает с решением 90(11) задачи для неизлучающего газа. Запишем эти условия в аналитическом виде Э = 1 ц~* ос 1=0, 11 = 0 (13.95) (13.96а) (13.966) причем условие (13.95) следует из (13.72в), если принять в нем параметр / равным I. Уравнения (13.92) н (13.95) содержат члены, обусловленные излучением и Q . дх т]=о которые должны быть получены нз решения уравнения переноса излучения. Ниже мы рассмотрим радиационную часть задачи: а) Б точной постановке и 6) в приближении оптически тонкого слоя; затем сравним распределения температуры в пограничном слое, полученные этими методами, а также в приближении оптически толстого слоя а) Точная постановка. Жидкость, обтекающая плоскую пластину, рассматривается как полубесконечный (О т < оо) локально плоскопараллельный слой поглощающей и излучающей серой среды с температурой Т{х, I). Граница т = О (т. е. - 0) представляет собой диффузно излучающую, диффузно отражающую, непрозрачную серую поверхность с температурой Td). Радиационная часть задачи описывается уравнением переноса излучения, которое для рассматриваемого случая имеет вид 01ix,bn)j . р) = h[T{x,l)] при 0<т<оо, - 1<гд<1. (13.97 а) На поверхности пластины 1(0, b.) = eJdTu,m-h20-e)\nO, -ii}dii, ц> О, (13.976) а при т-►оо интенсивность излучения остается конечной. Здесь Ею - степень черноты стенки, Г(т, I)- температура газа, Tu.d) - температура стенки, а (1 - ew)-отражательная способность стенки, поскольку считается, что выполняется закон Кирхгофа. Отметим, что интенсивность 1{х, , ) зависит от , тюскольку от I зависит температура Т{х, ); следовательно, g входит в эти уравнения просто как параметр. После того как уравнение (13.97) решено и найдена интенсивность излучения /(т, , р), плотность потока результирующего излучения (/(т, ) находится нз выражения ; 13.98) теперь легко получить выражение для радиационного члена в уравнении энергии. В гл. 8 уже было получено формальное решение уравнения переноса излучения и приведены выражения для члена, характеризующего радиационный тепловой поток. Поэтому мы не будем стгова повторять эти выкладки, а воспользуемся выражениями (8.95) и (8 84), чтобы получить формальные выражения для dqjdx и q, полагая то->оо, /v (то) О и опуская зависимость от частоты. Получаем 4я/г, \Т (т, I)] - 2пЕ, (т) (0) - ~2л \ 1ь{Г{х\ l)\E,{\x-x\)dx\ (13.99) о (0, ) = я/"(0)-2д \ h[T[t\ l)\E2{x)dx, (13.100) В эти формулы входит интенсивность излучения на границе /+(0). Выражение для •"(0) получается из (8.110а), полагая, что То-►оо, /(то)= О, р I - Яш, и опуская зависимость от частоты: / (0) е [Т + 2 (1 - е,) 5 /ЛГ (т I)] Е, [х) dx\ (13.101) Подстановка выражения (13.101) в (13.99) и (,13.100) дает ЛЦЖ = АпаГ (т. I) - 2sJ, (т) naJl () - - 4 (1 - 8) () \ поГ {х\ I) Е2 (х) dx -о -гяаГт, l)Ei{\x-~x\)dx, (13.102) /(0. 1) = syarjD-2в\ паПх, l)E{x)dx. (13.103) Принимая показатель преломления постоянным, можно записать эти уравнения в безразмерном виде дх дх f (т. г) = Q{x, )-e£2(c)eUl)- -(l-e,)£2(t)5 ет. l)E,{x)dx~ -IJ en-r, )£,(т-тЧ)т. (13.104) 4n2orL 4 et(i) - 2 eT, i)E2{x)dx (13.105a) 1,,= I [et (I) - 1] - 2 [ [e(T, I) - 1] £2(0 rft I. (13.1056) Эти выражения для радиациоииого теплового потока записаны через оптическую толщину т, а уравнение энергии (13.92) и граничные условия (13.95) через т]. Связь между т и ti можно получить из (13.60г), полагая в этом соотношении j = 1 и m 0: т = т1 VlAPr. (13.106) После подстановки (13.104) и (13.105) в уравнение энергии (13.92) и граничное условие (13.95) математическую формули- Пограничный слой в непрозрачных средах ровку рассматриваемой задачи можно считать полной. Теперь можно приступить к обсуждению метода решения полученной системы уравнений. Уравнепие движения (13.91) является независимым, следовательно, оно может быть решено совместно с граничными условиями (13.94) численно, напри.мер методом Рунге-Кутта, после чего будут определены функции Цц), dfldx\ и dfldrf, входящие в уравнение энергии. Уравнение энергии (13.92) представляет собой нелинейное интегродифференциальное уравнение в частных производных, потому что член, учитывающий перенос энергии излучением, содержит температуру в четвертой степени под знаком интеграла; поэтому его решение получается не так просто, как решение уравнения движения. В работе [38] использован метод конечных разностей и получено численное решение этого уравнения; при этом в качестве независимой переменной выступала г\, а продольная координата г рассматривалась как параметр. Шаг по т] выбирался равным 0,4. Вычисления велись до значения ц = 20, что достаточно, чтобы профиль температуры вышел иа асимптоту. Размер шага в направлении I выбирался постоянным в логарифмической шкале. Численные расчеты были проведены как для постоянной плотности подводимого к стеике теплового потока, так и для адиабатической стенки (т. е. случая, когда подвод тепла от газа к стеике компенсируется отводом тепла вследствие излучения стенки; следовательно, результирующий тепловой поток на стенке равен нулю). б) Приближение оптически тонкого слоя. Если <С 1 и iV по рядка единицы или меньше, тепловой пограничный слой является оптически тонким и задача упрощается, так как температурное поле е(т1, I) можно разделить на две области; 1) оптически тонкий тепловой пограничный слой, внутри которого применимо приближение оптически тонкого слоя и градиенты температуры велики и 2) внешний радиационный слой, оптическая толщина которого велика, а градиенты температуры малы. Этот подход аналогичен разделению гидродинамического пограничного слоя иа очень тонкий пограничный слой, в котором градиенты скорости велики, и внешнее потенциальное течение, в котором градиенты скорости пренебрежимо малы. Приведем теперь основные уравнения, которые применимы в этих двух областях, а затем обсудим вопрос о стыковке решений на границе теплового пограничного слоя и опишем метод решения этих уравнений. Радиационный слой. В этой области уравнение энергии (13.92) можно упростить, пренебрегая градиентами температуры в направлении ti и учитывая, что Получаем (13.107) где 9r означает температуру в радпацноином слое. Подстановка dQIdx из выражения (13.104) в уравнение (13.107) дает уравнение энергии для радиационного слоя в виде = ег (т, I) + j е.Е, (X) et (I) + + (1-е„)£,(х)5 ej(t, )£,(t)dx + + -1-5 eJ(t, )£,(т-т)т (13.108) с граничным условием 6,(т, )= 1 при 1 = 0. (13.109) Решение уравнения (13.108) с граничным условием (13.109) дает распределение температуры ег(т, ) во внешнем радиационном слое. Полученное решение, однако, неприменимо в непосредственной близости к стенке, потому что оно не удовлетворяет условию непрерывности температуры при т = 0. Значение 0г(т, I) при т-*0 используется в качестве температуры на внешнейгранице теплового пограничного слоя. Этот подход аналогичен использованию решения задачи о потенциальном обтекании для отыскания скорости на границе гидродинамического пограничного слоя. Нас интересует решение уравнения (13.108) для малых значений I, так как пограничный слой можно считать оптически тонким только при <С1. Если ограничиться малыми значениями I, то уравнение (13.108) можно упростить, полагая в правой части этого уравнения ег(т, ) = 1 и 9,(1)= боги, где бои.- температура стенки, полученная из решения уравнения энергии для 1 = 0. Тогда уравнение (13.108) принимает вид ilIilI = -ie,£nT)(eL-О для «1. (13.110) Граничное условие остается без изменений; 6,(т, !)-= 1 при 1 = 0. Решение уравнения (13.110) имеет вид г{1, ) = 1 + {е:.ЯИт)(е-1). (13.111) (13.112) Оптически тонкий тепловой пограничный слой. Для оптически тонкого теплового пограничного слоя уравнение энергии (13,92) упрощается в результате подстановки выражения для dQ>/dx, полученного в приближении оптически тонкого слоя. Если пограничный слой рассматривать как локально плоскопараллельный слой газа оптической толщины То, то в приближении оптически тонкого слоя выражение для dQ/dx получается либо непосредственно из формул (9.7) и(9.3а)"), либо путем упрощения выражения (13.104) для этого предельного случая. В результате получаем =[е (т, I) - 1] + L [ 1 (I)]. (13,113) Подстановка (13.113) в уравнение (13.92) дает уравнение энергии для оптически тонкого пограничного слоя: Рг di] 2 дцУ drf ) ~ Lan dl + (е-1) + еД1-бу1. (13.114) Граничные условия к уравнению (13.114) имеют следующий вид: а) Ла стенке прн ti = О плотность результирующего теплового потока Qw постоянна; б) температура на границе пограничного слоя (т)->-со) равна температуре радиационного слоя при т = 0; в) для 1 = 0 температура равна температуре Bo(ti), получаемой из решения уравнения энергии без учета излучения. Аналитически эти граничные условия записываются в внде Апат: + Q4ti, I) при л = 0. I > о, (13.115) Ё Рт dr\ е(т1,1)= 1 +{e..(eL- 1) при 9 {Ч, I) Во (л) при = 0. (13.116) (13.117) Граничное условие (13 116) получено из (13.112) при подстановке в него т = 0. Член Q(t, ) ti=o, характеризующий радиационный тепловой поток и фигурирующий в выражении (13.115), можно получить из (13.1056), упростив это выражение и воспользовавшись приближенным соотношением, справедливым при I < 1. В результате получаем 1 Ы, I) 1=0 = ([ei (I) - I] - 2 л/рЛп \ [е* (п. ) - i] - - eiL-El{x)dx\. (13.118) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |