|
| |
|
Главная Журналы ГИДРОДИНАМИЧЕСКИП И ТЕПЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ При формулировке рассмотренных выше задач о течении в пограничном слое необходимо различать пограничные слои двух видов: гидродинамический и тепловой. Преобразование подобия для гидродинамического пограничного слоя определяется только законом изменения скорости внешнего потока и{х). Выбор закона распределения скорости внешнего потока вида (13.48) для рассмотренного частного случая позволили получить уравнение движения (13.52) отиоснтельно функции /(л), зависящей только от одной независимой переменной т. Однако тепловой пограничный слон при наличии нзлучення в общем случае не является автомодельным, а именно: в уравненнн энергии (13.53) безразмерная температура 9(т), х) зависит от двух независимых неременных ц а х Ниже в этой главе мы увидим, что только для оптически толстого слоя существует полностью автомодельное преобразование для теплового пограничного слоя и температура становится функцией только от г\. ПРЕОБРАЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ i И ft ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Преобразованные уравнения движения н энергии (13.52) и (13.53) содержат коэффициенты теплопроводности и вязкости, которые зависят от температуры. Зависимость этих свойств от температуры должна быть известной для рассматриваемой задачи. Если считать, что ц и А зависят от температуры линейно*; ;i3.64a) то уравнення движения и энергии существенно упрощаются, так как для идеального газа р Та Комбинируя (13.64а) и (13 646), получаем рр = роро и fep = Аоро- 13.646) (13.64B) С учетом (13 64в) уравнение движения (13 52) приводится к виду 1 -frn Р ( dt \2 Р \) = 0. (13.65) Уравпенпе энергии (13 53) также упрощается и может быть записано в одной из следующих форм: Рг дг\ 1 5-9, Lf или df 56 , (\ЛМгЛ. 1 +m + JLlEJ0i-E„K)(f). (13.666) 1 + m p °° dTf dQ NPr dr\ 1 4- m iV Pr dx 1 i!i Llf.El=lilI-S-4 Pr 5ri 2 (3ti Л- n, Иг 14 1 4- m dl) dl ] -{-m dx + 1 + p dr\ У drf J (13.66b) При выводе этих уравнений использовались следующие соотношения: согласно (13.61а), согласно (13.616), jc -=(1 -m)S dQ ( i y/ dQ dr\ V 1 4- / dx • согласно (13.60b), 4 Re h 1 = (I3.67a) (13.676) (13.67b) (13.67r) согласно (13.61b). Последний член в правой части любого нз приведенных выше уравнений энергии характеризует вязкую диссипацию, а предшествующий ему член представляег собой работу сжатия. Выражения (13.63) для плотности результирующего теплового потока к стенке также упрощаются: 9t 1 -f т \Ъ Вох = (13.68а) 4 4el Рг дц =[-()"т+ QL= 03.686) = [-(w)""l + «lo- (3.68е) Переменные tj и ijj при этом остаются неизменными [см. (13.50) и (13.51)]; JVqXU {х) у/г (13.69а) (13.696) (13.69в) Если в качестве определяющей температуры То выбрать температуру торможения внешнего потока и рассматривать идеальный газ, то отношение плотностей р{х)1р{х, у) и число Эккерта Еоо{х), фигурирующие в приведенных выше уравнениях, могут быть выражены через число Маха М.<х,(х) для внешнего потока с помощью соотношений, приведенных в монографии [41]. Рассмотрим теперь уравнения для течения на плоской пластине и в окрестности критической точки, которые получаются как частные случаи приведенных выше уравнений а) Течение иа плоской пластине. В случае течения на Плоской пластине m = О, тогда уравнение движения (13.65) и уравнение энергии (13.66) упрощаются и принимают вид соответ- ственно (13.70) 9 / Л« df ае dt\ дх - 4 ReV. ~E(x)(i-), (I3.71a) df , ае 2 ail 2 dii - ag + Я Е4У. (13.716) N Рг ail Л pr ат Рг ail а-е , / f ае "Г о . df ае dii dl Отметим, что в случае течения на плоской пластине уравнения движения и энергии являются независимыми, а в уравнении энергии отсутствует член, соответствующий работе сжатия. Формулы (13 68) для плотности результирующего теплового потока к стенке упрощаются и принимают вид AnldTl 1 vh N ае "L К i) s ail 4 Re Pr ari -11 = 0 Jti = 0 Jt)=0 Переменные tj и ij; принимают вид 11 = С = const. (13.72а) (13.726) (13.72в) ;i3.73a) ;i3.736) (13.73в) б) Течение в окрестности критической точки. Для течения в окрестности критической точки уравнения (13.65) - (13.69) упрощаются, если положить в этих уравнениях т = \. УРАВНЕНИЯ В АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Плотность несжимаемой жидкости постоянна. Если, кроме того, принять, что коэффициенты вязкости и теплопроводнрсти не зависят от температуры, то уравнения движения и энергии (13.65) и (13.66) упрощаются и принимают вид dii 2 dii 1 +m [-(i)l = °- (3-74) a . , ae 2 "T 2 I r-n дг] ] -{- m di\ U + m ; Bo ail { ) Pr ail -L £!i л L f ae /(1 - m) df Pr ail- ~ 2 ail ~ 2 (1 + ) 1Д18 Зак, 796 dx : 13.75a) +Я-Е„(у. 03.756) N Pt дц 1 + m (V Рг дх 1 д-Q дц- 2 дц Ц\~т) df (] dц I + W дх Kdц J dц-13.75в) Отметим, что уравнения движения и энергии явл5;10гся независимыми и работа сжатия в урависнин энергии отсутствует. На практике при течении несжимаемой жидкости скорости потока достаточно малы, так что можно принять Е™ -С 1, поэтому в уравнении энергии можно пренебречь и членом, описывающим вязкую диссипацию энергии Формулы (13 68) для плотности результирующего теплового потока к стенке остаются без изменений, однако выражения (13.69) для г\ и i;(,v, у) упрощаются: (I -Ьш)п,„(д:) ix, y) = f{y\) /Уо". {х) I + m J • (13.76а) (13.766) (13.7бв) 13.4. ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТЫЙ НЕСЖИМАЕМЫЙ ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА КЛИНЕ Ряд авторов [2-6] использовали приближение оптически толстого слоя для исследования влияния излучения на теплообмен в пограничном слое. Хотя применимость приближения огнически толстого слоя для случая течения в пограничном слое весьма ограниченна, его преимуществом является простота анализа, поскольку в этом случае уравнение энергии можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение с помощью общепринятого преобразования подобия. В этом разделе будет дана математическая формулировка задачи о взаимодействии конвекции и излучения для стационарного ламннарного пограничного слоя на клине, при этом для радиационной части задачи будет использовано приближение оптически толстого слоя, а также будут обсуждены метод решения и полученные результаты Для простоты рассмотрим течение серой несжимаемой жидкости с постоянными свойствами около черной непроницаемой стенки, которая поддерживается при постоянной температуре Ту;. Заметим, что приближение несжимаемой жидкости является удовлетворительным только при мальп числач Эккер!а Поэтому, если принять, что <: !, го член. уч(ггывающиг( вязкую диссипацию энергии в уравнении энергии, буде! пренебрежимо мал Эти допущения позволяют упростить уравнения движения и энергии (13.74) и (13 756); полагая, что /= 1+". можно записать их в следующем виде: £1 dц I + т -9 , 1 f m . 1 - m df с d-f , ГI 1" df гл Рг дц (13.77) (13.78) а преобразованные переменные, описываемые формулами (13.76), примут вид {х, y) = f(il) VbU. (13.796) и(;с) = С.г (13.79b) Безразмерная температура Э(С, л) н безразмерная плотность результирующего потока излучения Q определяются следующим образом: Ht.n)j- и Q. (13.80) где Tea - температура внешнего потока, которая является постоянной. Теперь необходимо получить выражение для плотности потока результирующего излучения q. В ириблпжекии оптически толстого слоя (т е в приближении Росселанда) плотность потока результирующего излучения описывается выражением (9.25): J. Ап-а дТ* Зр ду Тогда Q равно Q = ~ I dQ Зр ду 1 дВ 3 дх 1 ае 3S дц 3S дц (13.8 (13.82) Здесь использованы соотношения (13.79а) для преобразования частных производных. Если радиационный тепловой поток Q представить в виде (13.82), то уравнение энергии (13.78) может быть преобразо- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |