|
| |
|
Главная Журналы И р заменено на х, lai-c как рассеяние теплового излучения молекулами газа пренебрежимо мало, если только среда не содержит частнц, на которых может происходить рассеяние; кроме того, показатель преломления принят равным единице. На фиг. 13.2 приведена зависимость параметра К от температуры для газообразного СО2 при давлении 10" Па {1 агм). Если рассматривается ламинарный пограничный слой, то число Рейнольдса не превышает -Ь-Ю. При скоростях внешнего потока, соответствующих числам Ма.ха ие больше 5, число Эккерта приблизительно равно 7 или меньше. В этом случае тепловой пограничный слой для газообразного СО2 ири давлении 10 Па является оптически тонким, так как величина , вычисленная по формуле (13.35), имеет порядок 10~* или меньше, а N значительно меньше единицы. Однако при низких давлениях положение изменяется. С поиижение.м давления плотность уменьшается, а К увеличивается, что приводит к увеличению оптической толщины пограничного слоя. 13.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Во многих случаях дифференциальные уравнения в частных производных ламинарного пограничного слоя могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений посредством введения новых переменных, называемых автомодельными переменными. Шлихтинг [27] приводит исчерпывающий анализ преобразований подобия .уравнений пограничного слоя для случая течения неизлучающего газа. В работе [39] описано приложение теории однопараметрических групп (развитой в [40]) для уменьшения числа независимых переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных В этом разделе будет описано преобразование уравнений стационарного двумерного пограничного слоя при ламинарном обтекании клина сжимаемой излучающей Лидкостыо. Из этих общих преобразованных уравнений для клина легко получнть соответствующие уравнения для течения иа плоской пластине и в окрестности передней критической точки. Рассмотрим уравнения неразрывности, движения и энергии для ламинарного пограничного слоя: -(Р«) + -(Р) = 0. ( ди . ди\ dp jx) (13.37) (13.38) дх - di, J dx dy ~d,j ( дТ .дТ\ О (.дТ\ dq dpix) , / ди \2 (13.39) Принимая, что газ идеальный, запишем уравнение состояния в виде Градиент давления dp{x)/dx связан со скоростью внешнего потока Ua>(x) соотношением (13.4!) где индекс оо относится к условиям во внещием потоке. Коэффициенты теплопроводности и вязкости жидкости считаются известными функциями температуры. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ Выписанные выше уравнения могут быть преобразованы к виду, более удобному для проведения вычислений, с помощью стандартных преобразований, используемых при анализе теплообмена в пограничном слое без учета излучения. Введем функцию тока 1з(х, у), определяемую таким образом, д {xl) р {X, у) {X, у) дх р {х, у) (13.42) (13.43) Введем также новую независимую переменную Y(x, у) и безразмерную температуру е(х, у): с Р (х, /). е(х, у) Т {X, у) То (13.44) (13.45) где Ро - плотность при определяющей температуре То. Тогда уравнение (13.37) удовлетворяется тождественно. Уравнения движения и энергии (13.38) и (13.39) в новых переменных принимают вид Ро дГ р ае дУ dxdY дх дУ Р ддВ д0В 1 W дх дх дУ роСр дУ V ро дУ РО ду) dx дУ Ро дУ 1 дд р.СрТо ду \дуЧ Глава  Фиг, 13.3. Пограничный слой при обтекании клина. Здесь рс« = р.х.(>), Woo = и р = р{х, Y). До сих пор наш анализ являлся совершенно общим и на скорость внешнего потока и«,(х) не налагалось никаких ограничений. При преобразовании уравнений пограничного слоя для иеизлучающей жидкости было показано, что задача существенно упрощается, если скорость внешнего потока «a>(Jc) пропорциональна х" нли е. Здесь будет рассмотрен случай, когда скорость внешнего потока Uoo{x) описывается формулой [х) = Сх 13.48) где коэффициент С и показатель степени т - постоянные. Из теории потенциального течения следует, что распределение скорости, описываемое формулой (13.48), имеет место в окрестности передней критической точки при обтекании клина, изображенного на фнг. 13.3. Показатель степени т связан с углом при вершине клина ла соотношением [27] или а = „ . , . (13.49) т == m + 1 Частные случаи а=0(т = 0), а=72("1=7з) и а=1(т=1) соответствуют обтеканию плоской пластины, клина с углом при вершине 90" и передней критической точки затупленного тела. Введем нов>ю независимую переменную Ц = У]{х,у) н новую зависимую переменную f{x\): (т 4- 1 )««=(£) {т 4- 1)ц (х) р {X, у] jVqXU {X) I m+ 1 dy\ (13.50) (13.51) Множитель /, представляющий собой положительную, не равную нулю константу, введен в эти формулы для удобства дальнейшего анализа. Придавая / соответствующие конкретные значе- Пограничный слой в непрозрачных средах ния, нз настоящего анализа легко получить различные рассмотренные в литературе частные случаи. Например, для обтекания клина, полагая / = m-f-U получим преобразование, использованное в работе [6]. а полагая / = 2, получим преобразование, использованное в [2]. В случае обтекания плоской пластины (т. е. при т - 0), полагая / = 1, получим преобразование, которое применено в [38]. Используя (13.50) и (13.51) и зависимость (13.48) для скорости внешнего потока, уравнения движения и энергии (13.46) и (13.47) можно записать в виде д д-(\ \ а Рг ail ( ИР £L\A.li. lopo d D V rfll / -1 ;i3.52) / fep de j , I. feopo dr\J~ rff ] + m sm p< + (l +m) 1 +m lp £ Входящие в эти уравнения безразмерные критерии перечисляются ниже: Во., Рг = 4п1дТ1 AnlaTl -~ число Больцмана (радиационно-конвектианый параметр); ~ число Эккерта; - число Праидтля; - кондуктивно-радиационный параметр; - безразмерная плотность потока результирующего излучения в направлении у; (13.54а) (13.546) (13.54в) (13.54Г) (13.54д) (13.54е) -JIMM. - ЧИСЛО Рейнольдса. Здесь «о ~ показатель преломления, а индекс О относится к условиям при определяющей температуре Та. Для ндеЗоТьного газа отношение плотностей р/ро связано с температурой следующим образом: = = i- (3,54ж) Составляющие скорости находятся но формулам « = «coW(rff/rfTi) (13.55а) -~JJiMm)Ui.) (f + л). (13.556) связь МЕЖДУ 11 и t в приведенной выше математической постановке задачи в уравнение энергии (13.53) входит безразмерная плотность радиационного теплового потока 2ji \ / (т, X, ji) [1 dji (13.56) Интенсивность излучения I(%, х, ц) находится из решения уравнения переноса излучения, которое обычно записывается через оптическую толщину т: (13.57а) где p(x, у)-объемный коэффициент ослабления. А уравнение энергии (13.53) записывается через переменную ц: Поэтому необходимо найти связь между tj н т. Для получения этой связи примем, что массовый коэффициент ослабления постоянен. Тогда, используя связь между массовым и объемным коэффициентами ослабления, будем иметь ) .Р [х, у) 9 ( у) Ро рэ Подстановка р (>:,(/) из (13.58) в (13.57а) дает ;i3.58) (13,59) Соотношение между т и т] получается из (13.576) и (13.59) и может быть записано в нескольких различных видах: (о + [х] Здесь введены новые параметры и : 1 = kRq\ Ап.аТХх N Рг роСр«ао [х) (13.60а) (13.606) (13.60в) (13,60г) (13.61а) (13.616) Безразмерный комплекс 4 ReBo, появляющийся в уравнении энергии (13.53), можно выразить через параметры S илн : 4 Re ТЕПЛОВОЙ ПОТОК к СТЕНКЕ В большинстве практических приложений необходимо знать плотность результирующего теплового потока к стенке. Для непроницаемой стенки плотность результирующего теплового потока qw является суммой плотностей кондуктивного и радиационного потоков: qw = W + q%= = (13.62) где k - коэффициент теплопроводности жидкости. Результирующий тепловой поток направлен в положительном направлении осн у, если qyj положительно. Уравнение (13.62) можно записать через безразмерные величины следующим образом: AnlaTl 1 + т \и ftp Во, *oPo 4ReVPr дх Jti=o - \-{-т fep К. ( пЛ = (13.63a) (13.636) (13.63b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [ 88 ] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |