|
| |
|
Главная Журналы Стеклаоразлыи /материал  = 0 Фиг. 12.7. Система координат и геометрия задачи об уносе массы стеклообразного материала. распределение температуры в среде становится функцией лишь расстояния от поверхности раздела и ие зависит от времени; такой процесс называется установившимся уносом массы. Задача о нахождении распределения температуры в поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей среде при установившемся уносе массы была исследована Кадановым [18], а также Боулсом и Оцисиком [19] Первый использовал приближенный метод решения радиационной части задачи, и полученные им результаты применимы в случаях, когда рассеяние играет существенную роль. В работе [19] получено точное решение радиационной части задачи методом разложения по собственным функциям, причем полученное решение справедливо при всех значениях альбедо однократного рассеяния ы от О до 1. Изложим математическую постановку задачи о распределении температуры в разрушающемся теле, опишем метод решения в случае установившегося процесса уиоса массы и рассмотрим полученные результаты. Одномерное уравнение сохранения энергии при совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением имеет вид [см. (124)] дх \ дх J S(0<.v<oo, ;>о, (12.63) где S{t)-положение поверхности раздела возду.ч - жидкость. Движущуюся границу можно исключить, перейдя к независимой переменной l[x,t)l = x~S{t) (12.64а) И используя для удобства обозначение dS(t} (12.646) где i - координата, измеряемая от поверхности раздела воздух-жидкость, а V - скорость разрушения тела. Используя преобразование (12.64), можно записать уравнение энергии (12.63) в видеЗ) -(™ + Е>рСрГ-/) = рс,~ 0<< оо, ;>о. (12.65) В безразмерном виде уравнение (12.65) записывается следующим образом: а / ае (-l-f 29--Q)=-, 0<т<оо, Г>0. (12.66) В это уравнение входят следующие безразмерные величины: = -ф- - коидуктивио-радиациоииый параметр; (12.67а) АпдТ, Q= - безразмерная плотность потока резуль- (12.676) An oTl тирующего излучения; - безразмерное время; 7 = - = Ж. ар a/v (12.б7в) (12.67Г) (12.б7д) (12.67е) (12.67ж) В качестве определяющей выбрана температура поверхности раздела Го, которая в рассматриваемой задаче является максимальной, а свойства материала предполагаются постоянными. Параметр Z представляет собой безразмерную длину свободного пробега излучения; он характеризует безразмерное расстояние, которое фотои проходит в среде, прежде чем он будет поглощен Чем больше значение тем больше расстояние перемещения фотона. установившийся унос массы Если предположить, что уиос массы в течение продолжительного времени происходит с постоянной массовой скоростью (и = const), то распределение температуры в среде является функцией расстояния от границы раздела воздух - жидкость и не зависит от времени. Тогда уравиеиие (12.66) упрощается: ( + 2e-Q)-0 при 0<t<oo, (12.68) где 2 = const. Однократное интегрирование этого уравиеиия при Q" = const и dQJdt-O при т->оо дает >0. (12.69) В качестве граничного используем условие, что температура поверхности раздела воздух - жидкость равна Го при х ~ О, т.е. 9=1 при т = 0. (12.70) Безразмерная плотность потока результирующего излучения Q{x), входящая в уравнение (12.69), связана с интенсивностью излучения соотношением 1 2я J I(T,n}ndn , Qi)= --7 \ {T,ii)\i4\ (12.71) Если предположить, что разрушающееся тело является серым и расположено перпендикулярно оси х, а также, что оио поглощает, испускает и изотропно рассеивает излучение, то безразмерная интенсивность излучения г1:1(т, \i) удовлетворяет уравнению переноса излучения, которое имеет вид itCaJiI (.,j (l „jeMt) + -~ 5г1,(т, /)rf/ при 0<т<оо, - 1<ц<1, (12.72) Где (О - альбедо однократного рассеяния, а ц - косинус угла между направлением распространения излучения и положительным направлением оси х. Предполагается, что поверхность раздела воздух - жидкость т = О не испускает излучение и зеркально его отражает. Тогда граничное условие при т = О имеет вид il(0, ц) = рг1(0, -ji), ii>0, (12.73) а tin (т, i) является частным решением уравнения (12.72) при т-*- оо. Решение уравнения (12.72) равно сумме решений соответствующего однородного уравнения и частного решения 11? (т, ц) = Л ("По) Ф (Ло. tA)e-i"+5 Л(11)ф(11. \i)e-"dT]-\-}pp{x, ц), ° (12.74) где исключены те члены решения однородного уравнения, которые расходятся иа бесконечности; поэтому (12.74) удовлетворяет граничному условию при х~*оо. Определение дискретной собственной функции ф(г1о, м) и непрерывной собственной функции ф(г1, р) дано в гл. 10 [см. (10.18)]. Решение в виде (12.74) содержит два неизвестных коэффициента разложения: Л(цо) и Л(ц). Предполагая, что частное решение г1р(т, р) уравнения переноса излучения известно, можно найти эти коэффициенты, как это описано в гл. 10 и 11, т. е. потребовать, чтобы решение (12.74) удовлетворяло граничному условию при т = О, и использовать свойство ортогональности собственных функций, а также различные интегралы нормировки. Однако частное решение не может быть найдено, пока неизвестна функция 0*(т), входящая в уравиеиие (12.72). Чтобы обойти эту трудность, предположим, что распределение температуры G(t) известно в некотором приближении и что функция 9(т) может быть представлена в внде ряда, содержащего конечное число членов: м еМт)- 5тcosпри 0<т<Го, (12.75) где т = То - координата, за пределами которой 6*(т) меньше заданного минимального значения; следовательно, предполагается, что величина 6*(т) пренебрежимо мала в области т > То. В данном случае в качестве такого минимального значения выбрано значение 10~. Как только функция 6*(т) становится известной, коэффициенты сразу же определяются с учетом конечного числа членов разложения. Если 9(т) представить в виде (12.75), то частное решение уравнения переноса излучения (12.72) со свободным членом (1 -()))9*(т) находится с помощью табл. 10.6 в виде М .и ,л Л \ V R (то/тя) [(Тр/тя) cos (тят/Тр) + i sm (тят/Тр)] яррт, lij -(1 ш; [I-ю(То/тл) Arctg(mn/To)]I(Tro/mit)+cI (12 76) Теперь, когда имеется частное решение для распределения температуры в данном приближении и получены соответствующие коэффициенты разложения Л(т1о) и Л(т1), с помощью (12.71) и (12 74) можно найти безразмерную плотность потока результирующего излучения Q(t): Q {х) = \{\-т) Подставляя (12 76) в (12.77), получим (т) = 4(1-о)) + V2g,J !-(Wmn)Arclg(mn/T.) щф тл; I - м (То/тя) Arctg (тя/То) " (12.77) (12.78) МЕТОД РЕШЕНИЯ Задача содержит четыре независимых параметра: Л, Z, р и (0. Если их значения заданы, а также принято некоторое приближение для распределения температуры 9(т), то функция 9(т) представляется в виде конечного ряда (12 75) и находятся коэффициенты В. Затем с помощью (12 76) отыскивается частное решение уравнения переноса излучения, а коэффициенты разложения Л(т1о) и А{х\) определяются по методу, описанному в гл. 10 и 11. Зная А{х\о)А{г[) и Вт, можно найги безразмерную плотность потока результирующего излучения Q{x) но формуле (12.78). Рассматривая Q"(t) как заданн>ю функцию, можно численно с помощью метода Рунге - Кутта проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.69), используя граничное условие (12.70), и получить первое приближение для профиля температуры 9(т). Затем первое приближение используется для получения второго приближеция и т. д Расчеты повторяются до получения сходимости с заданной точностью. Боулс и Оцнсик [19], используя описанный выше подход и метод Рунге-Кутта, который позволял легко скорректировать нулевое приближение для наклона профиля температуры на границе т = о, нашли стационарное распределение температуры и плотность потока результирующего излучения в разрушающемся теле. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ На фиг. 12.8 показано влияние кондуктивно-радиациоиного параметра Л на ра-спределение температуры и плотности потока результирующего излучения в разрушающемся теле при (о=0,9,   20 т 15" Фиг. 12.8. Влияние кондуктивно-радиациоиного параметра па распределение температуры и плотности потока результирующего излучения [19]. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |