|
| |
|
Главная Журналы НИЯ, согласно (8.95), определяется в виде . = АпТ (т) - 2 [паТ\Е (т) + пЧТ\Е (т, - т) + + \n4V{x)E,{\x~T\)dx (12.38а) \{x)E,{\x-x\)dx (12.386) где показатель преломления п считается постоянным. Теперь мы имеем полное математическое описание задачи. Распределение температуры в среде получается из решения уравнения энергии (12.35) с использованием граничных условий (12.36) и выражения (12.386) для dQIdx. После отыскания распределения температуры плотность результирующего теплового потока определяется из выражения Я{-) dOiXi 4- i-(х\ (12.39) где плотность потока результирующего излучения может быть определена из выражения (8.84), а именно q{x)2 q(t)- паТ\Е2 (т) + пЧР (т) £2 (т ~ т) dx пЧЦЕ (То - т) + 5 пЧР (т) Яг (т - х) dx е!Яз (г) + (т) £2 (т - т) rfv £з(Т0-Т)+ 5еМт)£2К-Т)т (12.40а) (12.406) ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Получение аналитического решения рассмотренной задачи о совместном действии теплопроводности и излучения весьма маловероятно. Однако с помощью быстродействующих элек-   Фир 12 4 Распределения температуры в плоском слое поглощающей и излучающей среды при совместном переносе тепла теплопроводностью и излуче-нием; 9i = 0,5, 62= 1,0, £1 = 82 = 1,0 [\\. тронных вычислительных машии оиа может быть решена численно. Висканта и Грош [1], проинтегрировав иитегродифферен-циальные уравнения (12.35) и (12 386) по т от О до т, преобразовали их в нелинейное интегральное уравнение Фредгольма Относительно 6(т). Постоянные интегрирования были определены с помощью граничных условий (12.36). Полученное интегральное уравнение решалось численно итерационным методом. На фиг. 12 4 показаны распределения температуры 6(т) в слое для оптических толщин то = 0,1 и 1,0 и ряда значений параметра N. В качестве граничных условий для этих расчетов принимались 0i = 0,5 и 62 = 1,0. На обеих фигурах кривые, соответствующие Л 10, совпадают с распределением температуры в случае одной только теплопроводности (т. е. при N=oo). С уменьшением N возрастает различие в профилях температуры при наличии излучения и без него Для заданного iV различие больше при То = 1,0, чем при то = 0,1. Например, при = 0,01 максимальное расхождение составляет всего около 3% при То = 0,1. Случай iV = О соответствует переносу энергии только излучением. Градиенты температуры на холодной стенке при наличии излучения больше, чем в случае одной только теплопроводности; однако на горячей стенке они могут быть и больше и меньше в зависимости от величины параметра iV. 12.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ Рассмотрим методы получения точного решения стационарной задачи о совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в слое поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей серой среды, оптическая толщина которого равна то-Границы -с = О и т = то являются непрозрачными, серыми, диффузно излучающими и диффузно отражающими и поддерживаются при постоянных температурах Г] и 7*2 соответственно. На фиг. 12 1 представлены геометрия рассматриваемой задачи и система координат. В настоящем разделе будут рассмотрены двз различных подхода к решению радиационной части задачи. В методе 1 используется подход, описанный в гл. 8; в методе 2 используется разложение по собственным функциям, описанное в гл. 10. МЕТОД I Стационарное уравнение энергии прн совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в йредположении постоянного значения коэффициента теплопроводности и отсут* ствия внутренних источников энергии записывается в виде [см. (12.14)] d"-Q(x) j -co tq4(t.) -C(t)] при 0<т<То (12.41) при следующих граничных условиях: 9(t)=l при т = 0. е(т) = - = е2 при т = то, (12.42а) (12.426) где е(т) н N описываются выражениями (12.6). в которых Бепазмериая пространственная плотность падающего излучение оАт) вязана сиитенсивносгью излучения /(,тц) соот-ношением G*(T)- 2л 5 Н- )dJ -1 АпЧт\ Функция \ti(T, л) удовлетворяет уравнению переноса излучения ti-hir, ц)-(1-а))е(т) + \iix, прн 0<т<То {\2А4) при следующих граничных условиях: ф+(0)==е + 2(1~е05 "(0.-/)lid?i. > 0. (I2.45a) t)"(To)-e242(l-e2)5 Ф(о, }tidti\ ii < 0; (12.456) при этом предполагается, что справедлив закон Кирхгофа, а отражательная способность р заменена на (1-е), поскольку границы непрозрачные. Процессы переноса тепла теплопроводностью и излучением, описываемые уравнениями (12.41) и (12.44), связаны между собой соотношением (12.43) и должны рассматриваться совместно. Радиационная часть задачи, описываемая уравнением (12.44), может быть решена формально методом, описанным в гл. 8, и для G*(t) получается следующее соотношение: G*(t) - 4 { я! (0) Е, (т) + - (То) Е, (То - т) + То . + 5 [(1 - (0)(тО + (oG*(т)] (I т - т I) rfr I, (12.46) где 1р+(0) и i1;-(to)-безразмерные иитенсивности излучения на границах. Для диффузно отражающих и диффузно излучающих границ формальное решение для +{0) и я1;-(то) получается непосредственно из (8.108) = (12.47) -(t,) = 4±Ml (12.48) Л1е1 + 2(1-81)5[(1 -(o)e4(t) + (oG*(t)]£2(t)t. (12.49а) л, = 820 -f 2 (1 - 82) 5 [(1 - (т) + (oG* (т)] Е2 (То - г) dx, о (12.496) &,2(1-е,)£з(то), (12.49в) Ь,2(1-е,)£э(хо). (12.49Г) Таким образом, уравнения (12.41), (12.46), (!2.47) и (12.48) представляют собой четыре независимых соотношения относительно четырех неизвестных функций 6(т), С*(т), i(0) и гр~(то). Для их решения можно использовать прямой метод итераций. Если проинтегрировать дифференциальное уравнение (12.41) с учетом граничных условий (12,42а) и (12.426), то получим нелинейное интегральное уравнение относительно 6(т). Затем это интегральное уравнение и уравнения относительно G*(t), iJ+(0) и i1)~(to) решаются методом итераций. После того как найдены все эти четыре функции, можно определить безразмерную плотность потока результирующего излучения Q{x) в любой точке среды () ~& = 7 { 40) £з (-с) -Ы) в, (to - т) + Wart + S [(1 - СО) 6 (т) + (oG* (т01 Е, (т - тО dx - - j [(1 - (О) {X) + йС* (т)] Е, {X - т) dT j , (12.50) а плотность результирующего теплового потока вычислить с помощью соотношения = - + tQW- (2-51) Висканта [3], используя аналогичный подход, получил распределение температуры, плотность потока результирующего излучения и плотность полного теплового потока в среде при совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением. МЕТОД 2 Уравнение сохранения энергии при совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в предположении постоянного значения коэффициента теплопроводности и отсутствия внутренних источников энергии записывается в виде ~d" Т dz "Р" О <т <То (12.52) при следующих граничных условиях: 6 (т) = 1 при т = о, 6(т) = б2 при Т = То. Безразмерная плотность потока результирующего излучения Q{x) связана с интенсивностью излучения 1{х, р) соотношением ШТ АпЧт\-Ь(т.Ю . (12.54а) (12.53а) (12.536) а безразмерная интенсивность излучения ф(т, р) определяется следующим образом; П(т. р)-4. (12.546) Функция {х, р) удовлетворяет уравнению переноса излучения 1х-+я)(т, р) = (1-(о)еЧт) + \{z,W)dL (12.55) при следующих граничных условиях: ф(0) = е,-f 2(1 "e)Jil40, > О, (12.56а) (x) = zp\ -Ь 2 (1 - е,) гр(т,, \i) р rfp, < 0. (12.566) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |