Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101


0,001

200 300

Фиг. 12.2. Значения параметра N для аммиака, углекислого газа и водяного пара при давлении 0,101 МН/м (I атм) [20].

стационарным, хотя уравнение энергии (12.5) [или (12.7)] зависит От времени. Как отмечалось в гл. 8, это связано с тем, что излучение распространяется со скоростью света, и потому связанные с переносом излучения нестационарные эффекты пренебрежимо малы. Интенсивность }р{т, х, I) зависит от I, поскольку температура 9(т, ) зависит от i, следовательно, время входит в уравнение переноса излучения просто как параметр.

При стационарном распределении температуры 9(т) уравнение энергии в виде (12.5) или (12.7) упрощается и сводится соответственно к виду

d-Q (т)

1 dQji) Y dx

+ Я(Т) = 0

(12.13)

dQ (т)

1 ~(0

[9 (т) - G* (r)] 4- Я (T) = 0. (12.14)

плотность РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

В большинстве практических случаев представляет интерес плотность результирующего теплового потока. После того как путем совместного решения уравнений энергии и переноса излучения найдено распределение температуры, можно получить

плотность результирующего теплового потока q путем сложения кондуктивной и радиационной составляющих:

Это же выражение в безразмерном виде записывается следующим образом:

Q(t. Ю =

д дв (Т, I)

(12.16)

При больших значениях (т. е. прн -* ею) радиационный член исчезает и уравнение (12.16) сводится к уравнению только теплопроводности.

12.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТОМ СЛОЕ

В настоящем разделе будет рассмотрен мето.ц определения стационарного распределения температуры н плотности результирующего теплового потока прн совместном действии теплопроводности н излучения в приближении оптически толстого слоя. Предположим, что слой является оптически толстым (т. е. = = то 1) и серым, имеет черные границы т - О и т = то, которые поддерживаются при постоянных температурах Ti и Гг соответственно, и что объемная мощность внутренних источников энергии постоянна и равна h.

Уравнение сохранения энергии записывается в виде [см. (12.13)]

j г- jo /-\ 1 -i

0<т<То (12.17)

d г9(т) Lq(t:) +Я = 0

I dx

при следующих граничных условиях:

e(T)==-~=ei при т = о,

е(т) =

12 При X = То,

(12.18а) (12.186)

где Тг - определяющая температура, а выражения для безразмерных величин приведены выше [см. (12.6)]. Плотность потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя равна [см. (9.25)]

?(х) = -ГМт) (12.19)

(12.20)



Подставляя (12.20) в уравнение энергии (12.17), получим

[(+W90l7] + 0 "Р" 0<<о. (12.21)

Это уравнение можно записать в виде

ke{Q)~\==~HTl при 0<11<1

(12.22)

при следующих граничных условиях:

6 = 01 при Г1 = 0, 6 = Оз прн л = U

(12.23а) (12.236)

где новая независимая переменная т] и эффективный коэффициент теплопроводности йе(6) определяются следующим образом:

(12.24) (12.25)

Уравнение (12.21) эквивалентно уравнению стационарной теплопроводности с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности и постоянной объемной мощностью внутренних источников. Для решения уравнения (12 22) введем новую зависимую переменную н(6) [21]

(12.26)

Тогда уравнение (12.22) и граничные условия (12.23) преобразуются к виду

прн 0<Т1<1,

(12.27)

*;м, при Т1 = 0, (12.28а)

u=\kJQ)dB=QQlu при г = 1. (12.286)

Решение уравнения (12 27) с граничными условиями (12.28) имеет вид

и :=н,(1 - Ti)-f + -2" П(1 - 11)

и = е,(1 -11) + eii + з[( - )9; + Я +

12.29а)

(12.296)

После подстановки (12.25) в (12.26) получим выражение для перехода от н к 6:

а из (12.296) и (12.30) соотношение для распределения температуры 6(\i) в слое

е+ -

=(1 - л) 6, + пе, -f W [(" - п) ен лед

11(1-л). (12.31)

Из (12.16) и (12.20) следует выражение для плотности результирующего теплового потока q{x) в среде

?(т)

dQix)

(12.32)

Заменяя в качестве независимой переменной х на »!, получим

я (л) kT,

(11)

9 (л) dn

(12.33)

поскольку То = L.

Наконец, определив производную dQldr\ из (12.31) и подставив ее в (12.33), найдем плотность результирующего теплового потока:

=(е. - е.) + ж (в; - 69 + (ч - т) (2.34)

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Математическая формулировка одномерной задачи о совместном действии излучения и теплопроводности [уравнения (12.22) и (12.23)] такая же, как и задачи о переносе энергии при течении Куэтта с учетом излучения Член, учитывающий внутреннее тепловыделение в данной задаче эквивалентен члену, обусловленному вязкой диссипацией энергии, в задаче о течении




Фнг. 12.3. Сравнение распределений температуры в плоском слое, полученных в приближении оптически толстого слоя и в результате точного решения [22].

-приближение оптически толстого слоя;---точное решение, Tq = IO:---точное

решение, То=1.

Куэтта. Поэтому мы представим ниже некоторые численные результаты, полученные Вискантой и Грошем [22] для случая, когда диссипацией можно пренебречь (т.е. Н = 0).

На фнг. 12.3 сравниваются распределения температуры в слое прн совместном действии теплопроводности и излучения, полученные в приближении оптически толстого слоя и в результате точного решения задачи прн постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии тепловыделения (т.е. Н = 0). В качестве определяющей температуры используется температура Гг границы X = Хо (т. е. Тг = Т2). На этом графике приведены результаты для = 0,01, 9i - 0,5 и 62 = 1,0. Значение - 0,01 соответствует случаю, когда преобладает перенос энергии излучением.

Точное решение для То = 10 больше соответствует приближению оптически толстого слоя, чем точное решение для то = 1; поэтому распределение температуры, полученное в предельном случае оптически толстого слоя, лучше согласуется с точным решением для То ~ 10 Однако градиенты температуры на стенках, вычисленные в приближении оптически толстого слоя, значительно отличаются от результатов точного расчета; это может

привести к значительным погрешностям при расчете теплообмена на стенке. Такое расхождение следовало ожидать, поскольку приближение оптически толстого слоя несправедливо вблизи границ, что существенно ограничивает область применимости этого приближения, особенно когда влияние излучения значительно.

12.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ СРЕДЫ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Найдем точное решение стационарной задачи о совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в слое поглощающей, излучающей, иерассеивающей серой среды, оптическая толщина которого равна то. Будем считать, что теплофизические свойства постоянны, а границы т = О и т = то поддерживаются при постоянных температурах Т] и Т2 соответственно и являются черными. Геометрия задачи и система координат представлены на фнг. 12.1.

Стационарное одномерное уравнение энергии при постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии внутренних источников энергии имеет вид

d"e(T) 1 dQ (х)

при о т То

(12.35)

при следующих граничных условиях:

.(т) = -е, при т=-0, т

I (т) = -=г; - 1 При Т = То,

(12.36а) (12.366)

где в качестве определяющей температуры выбрана температура 7*2 и введены следующие безразмерные величины:

AnoTl

AnoTJ dx = ndy, Хо = я1.

(12.37a)

(12.376) (12.37b)

Член dQ/dx для поглощающего и излучающего слоя, на границах которого интенсивность излучения не зависит от направле-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101