|
| |
|
Главная Журналы иыми внутренними источниками энергии, заключенном между двумн границами t = О и t - to, которые поддерживаютсн при температурах Т\ и Гг. В настонщей задаче необходимо найти распределение температуры и плотность потока результирующего излучении в среде. Уравнение сохранения энергии имеет вид [см. (8.186)] - = g{y) или ;ii.ii6) где g{x) - плотность потока объемного излучении внутренних источников энергии (т. е. количество выделяемой энергии, отнесенное к единице объема и единице времени); т - оптическая толщина; dx = fidy. Плотность потока результирующего излучении а{х) связана с интенсивностью излучении /(т, р) соотношением (т, р)==2л /(т, р)рр, (11.117) причем дли серой среды интенсивность излучения /(т, р) удо-влетворнет уравнению переноса излучении в виде + -- 5 Д-г. МОФ прн 0<т<то, -1<р<1. (11.118) Для черных границ граничные условии имеют вид 7(0, р) = / (То, Р) = = Р>0, (11.119) (11.120) Теперь, используй уравнение сохранения энергии (11.116), преобразуем уравнение переноса излучении (11.118) к виду, соответствующему со 1. Преобразуем обе части уравиеиия (11.118) с помощью оператора 2я Р, используя соотношении (11.116) и (11.117); в результате получим Подставляя (11.121) в (11.118), исключим член, содержащий температуру: V + nx, 1)=- +j S/(T, W)dк\ (11.122) (11.123a) (11.1236) прн OTto, -lpl. Граничные условии имеют вид /(О, p) = f:, р>0, / Ы, V) = f2, р < 0. Уравнение (11.122) теперь имеет тот же вид, что и уравнение переноса излучения при оз 1 и содержит заранее заданный свободный член, обусловленный наличием внутренних источников. Уравнении (11.122), (11.123) были решены с помощью метода разложении по собственным функцинм в работах [25, 29, 30] при различных граничных условиях. После того, как найдено угловое распределение интенсивности излучения 1{х, (i), по формуле (11.121) можно рассчитать распределение температуры, а по (11.117)-плотность потока результирующего излучении. Представим теперь решение уравнении (11.122) при граничных условннх (11.123) методом разложении по собственным функцинм. Решение уравнении (11.122) равно сумме элементарных решений соответствующего однородного уравнении и частного решения [см. решение однородного уравнении (10.206)] /(т, [х) = Л+5(т-р) + 5 Л(11)ф(т1, p)e--/VTi + 4.Л(-11)ф(-г1. (х)е/г1 + /Дт, р), (11.124) причем предполагается, что частное решение /р(т, р,) может быть найдено, и оно зависит от характера свободного члена g-(T)/4jtp, а непрерывнан собственнан функции записывается в виде [см. (10.18г) и (10.18д) для оз 1] Ф(Л. р) = 4тГЗГГ+(1-лагс111Т1)б(т1-р), Tie(-1, 1). (11.125) Задача сводится теперь к отысканию неизвестных коэффициентов разложения Л, В, Л[у\\ и Л(-т)); это можно сделать при условии, что решение (11.124) удовлетворнет граничным условиям (11.123). Глава 11 После того как найдены частное решение и коэффициенты разложения, рассчитывается угловое распределение интенсивности излучения /(т, по формуле (11.124), плотность потока результирующего излучения по формуле (11.117), которая принимает вид ) (г) = 2я :u.]26) а распределение температуры по формуле (11.121), которая принимает вид паТНх) g(T) 1 "1~ о 2Л + 2В + 5л(л)е-/1Л + . (11.127) Рассмотрим теперь способ определения коэффициентов разложения. Подстановка решения (И.124) в граничные условия (11.123а) и (11.1236) дает соответственно fi-/p(0 M.) + ifi- $ Л{-л)ф(-11. \i)dr\ -Л + 5Л(л)ф(л, M.)rfil. Ц>0, (11Л28) f2-/p(o, -M.)-tiB- 5 Л(л)е-Х-Л. = (Л + ЙТо)+ Л(-т1)е"Ч(П, V)<ir\ J>0. (11,129) При этом использовались соотношения взаимности Ф(Л, -р.) = ф(-Л, 1), (11.130а) Ф{-Л, -A)--Ф(л, и)- (плзоб) Заметим, что правые части уравиеиий (11.128) и (11129) имеют тот же вид, что и разложения (10 226) в половние интервала для случая (0=1; согласно теореме о разложении в иоло- вине интервала, сформулированной в гл. 10, это разложение носит достаточно общий характер, чтобы предсгавить произвольную функцию [т.е. левую часть (11.128) и (11.129)], определенную в интервале р(0, 1). Используя свойство ортогональности собственных функций и различные интегралы нор.ми-ровки, приведенные в гл. 10 для со = 1, с помощью уравиеиий (11.128) и (11.129) можно определить коэффициенты разложения, ниже будет оипсаио, как это делается. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КОЭФФФИЦИЕНТОВ Для определешя дискретных коэффициентов Л и fi преобразуем обе части уравнений (11.128) н (11.129) с помощью оператора 5 Y(M-) d\i. •11.131) Получим соответственно Ч fi-S/p(0. Y()rf + fiY"-S(- Л)Л = Л, :ii.i32) dr\ = h~\lp{4, -n)Y(fi)-5Y" - S Л(л)-" о о =-Л--5то. (11.133) Так]]м образом, нам удалось выделить коэффициенты А и А + -4-Вто в правую часть выражений (11.132) и (11.133) соответственна. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Для определения непрерывных коэффициентов Л (ti) и Л(-Tl) преобразуем обе части уравнений (11J28) и (11.129) с помощью оператора 5 Y(A)ф(л v)d\i. (11.134) Используя различные интегралы нормировки и меняя местами Г) и Tl в результирующих выражениях, уравнения (11.128) пре- образуем к вицу - \ /р(0 ()У(р)ф{П. p)rfp - - в а - 5 л(- V)VV = л(1)5. (11.135) - - ()у((а)ф(л- ()р + (11.136) Таким образом, нам удалось выделить коэффициенты А{ц) и Л (-"п) в правую часть выражений (11.135) и (11Л36). Функция (1, г) определяется уравнением [см. (10.866)] = (1 - П Arcth + (,,.,37) функция Х(-г) и Y(ri) связаны с функцией Чандрасекара Я(р) [см. (Ю.Збв) и (10.29в)] соотношениями со=1, (л) = ля(»1), 0:-], (11.138) (11.139) а -у"* определяется в виде 1 , 1 f) \\i\{\i)d\i\ рЯ ill) ф = 0,71044 ... . (11.140) Уравиеиия (11.132), (11.133), (11.135) и (11.136) представляют собой систему с четырьмя неизвестными: Л, В, Л(т1) и Л(-г). Подытожиаая результазы, перепишем эти уравнения в следую- щем виде: f 1 " $ /ДО, р) Y (Р) dii цХ (- лО Л {- лО dr\ о Jo (11.141) 1 -1 Л + (П+То)В= /г-/рСо, -Р) Y(P) - 5 л(-Л0е-»л(л)л. (11Л42) {л) = -- $/р(0, 1г)у(р)ф(л. 1г)Ф + "-0 . (11.143) л(- г) е»/-п = --; g(l>ti) 5;>(То, - .г)\(.г)ф(л, р)ф - -о I ~\B + \\e~-A{r{)dr . (11Л44) Если найдено частное решение /р(т, р) уравнения (11.122) прн заданном свободном члене этого уравнения, то уравнения (11,141) - (11.144) могут быть решены численно методом итераций, и коэффициенты разложения могут быть получены с любой требуемой точностью. Зная коэффициенты разложения, по формулам (11.124), (11.126) и (11.127) можно рассчитать интенсивность излучения /(т, р), плотность потока результирующего излучения (т) и распределение температуры 7(т) в среде. Для простоты мы в своем анализе ограничились лишь случаем черных границ. Примененный подход можно без труда распространить на диффузно и зеркально отражающие границы. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Для решения системы уравнений (11.141) - (11.144) можно использовать также аналитические приближенные методы, которые позволяют получиЬ коэффициенты разложения с достаточной точностью. В работах [25, 28, 30] получены такие приближенные решения. Для только рассеивающей (консервативнон} 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |