|
| |
|
Главная Журналы (i - 1.2, .. ., iV). В результате получаем dl (т, Д;) 1.75а) а/(т, -цА . . = (! - (0) /г, [? (т)] + f X! ff"" " f"/ + + р((х„ Ц/)/(т, -Р/)], Р.-е(0, 1), (11.756) где 1=1, 2, ..., Л/. Предполагая, что граничные условия (11.71) удовлетворяются для каждого дискретного значения р, и применяя формулу гауссовых квадратур для перехода от интегрирования к суммированию, получим вместо (11.71) следующую систему 2Л граничных условий; /(О, ц,) = 8,/г,(Г,) + 2р,Е а#/(0, -р,). р,е(0, 1), (11.76а) /(То. -рО = еЛ(Г2) + 2р2 2 а/Р (То. Р/), Р.е(0, 1). (11.766) где /= 1, 2, .. ., Л/. Уравнения (11.75) с граничными условиями (11.76) представляют собой систему 2N обыкновенных дифференциальных уравнений с 2Л неизвестными: /(т, ]ц) и /(т, -pi) (i- = 1,2, N). После того как эта система решена и определены интенсивности, можно рассчитать плотность потока результирующего излучении (?"(т): 1 г 1 1 q (т) = 2п \ I (х, \i)\L d]i = 2я /(т, р) р rfp - / (т, -р) р d\i Тогда плотность потока результирующего излучения на границе т - О равна <?(0) = 2л 2 а,р,[/(0, р,)-/(0, -р;)]. (11.78) МЕТОД РЕШЕНИЯ Уравнения (11.75) можно записать в виде dl(x \ ЛГ (!-(о)/г,[Г(т)], (11.79а) = (1 (о)/ЛГ(т)], (11.796) где р;е(0, 1), 1, 2, л/ и 1 со f 1 при / = 1 о при / v/. ;i 1.80а) (11.806) 11.80в) Уравнения (11.79) представляют собой систему 2Л линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с 2N неизвестными; /(т, pi) и /(т, -Рг) (i= I, 2, Л), которая должна быть решена совместно с 2М граничными условиями (11.76). Предположим, что репленис однородной системы уравнений, соответствующей системе (11.79), можно записать в виде /(т, Р,) = ёГ,(). /(-, -(,) = ёГ;(й)еЧ (11.81) где 1=1, 2, ..., Л. После подстановки этих решений в однородные части уравнений (11.79) мы получим систему 2Л линейных однородных алгебраических уравнений относительно g.{k) я g]{k) с k в качестве параметра. Допустимые значения k находятся из условия, что детерминант, составленный из коэффициентов gr, (й) и g]{k). становится равным нулю, если результирующая система алгебраических Однородных уравнений имеет нетривиальное решение. После того как найдены значения kj, алгебраические уравнения решаются при каждом значении kf {j==l, 2, 2Л/) и определяются соответствующие значения (й) и g] (й) {i= 1, 2,.... N). Общее решение системы уравнений (11.79) записывается как линейная сумма общих решений однородных уравнений и частного решения /р.- /(г. М= t c,gi +/,. (11.82а) (11.826) где Cj - 2N констант интегрирования, которые должны быть найдены с помощью 2/V граничных условий. Для изотермической среды частное решение найти достаточно просто, а для неизотермической среды его можно получить, как это описано в работе [И], 11.6. СЛОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ПРИ о < t В настоящем разделе будет рассмотрено применение метода разложения по собственным функциям для решения уравнения переноса излучения и нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения в плоском слое поглощающей, излучающей, изотропно рассеивающей серой среды с заданным распределением температуры 7(т), заключенной между двумя зеркально отражающими, диффузно излучающими, ненроэрачными серыми границами. Граничные поверхности т - О и т = То имеют постоянные температуры Ti и Га, степени черноты ei и 82 и отражательные способности и соответственно. Геометрия задачи и система координат аналогичны приведенным на фиг. 11.5. Математически рассматриваемая задача описывается уравнением \щ + Пг. .) = (1-»)+« 5/{т. /)rf/ (11.83) -1 при 0т<То, - i <р < 1, С граничными условиями [см. уравнение (8.100) для случая се-рои Среды] I (О, ц) = 8, + р/ (0. ц), > о, (11.84а) I (t,. - = Ч- (т,. ц). > 0. (11.646) Для удобства перепишем уравнения (11.83) и (11.84) в следующем виде: Ц + /(т, li)=s(x) /(т, i,)d\i (11.85) при 0<т<То, - с граничными условиями / (О, i) = fl, i-f,,/(0. -ц), р>0. / ("0» - li) = «2 4- b-J (То, р), р > О, s(t)(1 -«)- аг.-, Pf==pJ, или 2. (11.86а) (11.866) (11.87а) (11.876) Общее решение уравнения (11.85) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения /р(т, ц) [см. решение однородного уравнения (10.186)] /(т. а) = Л(по)Ф(г1о, \1]е- + Л{-Цо){-Ъ, и)е + i I + 54(Л)<р(т1. ti)erfn+ 54(-п)ф(-П> ц)е-*Мп + /р(, tl), о о (11.88) где дискретные собственные функции определяются в виде [см. (10.18Б)] ф(±,о,р)=, %(-Ы), (11.89а) а непрерывные собственные функции в бндс [см. (Ш18г) и Ф(П, p) = -~- + (l-(0T]Arcthri)6(n-p), Ti(-U 1). (п.896) Здесь Р означает, что интегрирование \1{г] - р) по г\ или р. должно производиться в смысле главного значения Кошн, а дискретные собственные значения ±tio представляют собой два корня уравнения Л(т1о)= 1 - (йТ1г arcth = 0. ; 11.89b) уравнение (11.88) содержит четыре неизвестных коэффициента разложения Л(Г1о], Л{-то), (л) "i-которые должны находиться, исходя из требования, чтобы обндее решение (11,88) удовлетворяло граничным условиям (11.86). После того как найдено частное решение /р(т, р) уравнения (11,85) и определены коэффициенты разложения, можно рассчитать угловое распределение и}зтенсивности излучения /(т, ц) с помощью выражения (11.88), а также пространственную плотность падающего излучения G(r) и плотность потока результирующего излучения (?"(т) в среде с помощью выражений G (т) = 2л / (т, р) dii = -1 =--2я Л (rio) е-"/ч-Ь Л (-Tlo) еП + 5 -4(11)6-/16/1 + + 5-(-Ti)e"rfri+ /р(т, р)ф , (U.90) о ~1 7{т)=:2я д/(т, n)dii -1 = 2я(1 - (0) Л (т1])т1ое-»- Л (-т1))т1ое" + 11 1 -\-\л{у)) У]е-УrfTi - 5 Л (~ tl) У]е dy] + j~ J (t, p)p rfp (11.91) Мы предполагаем, что частное решение уравнения (11.85) для рассматриваемого свободного члена s(t) можно найти (см. табл. 10.6) и. следовательно. J,,(t, ji)-известная функция. Перейдем теперь к определению коэффициентов разложения. Подстановка решения (11.88) в граничные условия и (11.866) дает соответственно 11.86а) [a, + bjp{0, -р)-7,(0, !.*)] + [й,Л(ло)-Л(-Т1о)]ф(-Т1о, р)+ I + J 1ЬЛ{у]) - Л {-У])Ы~ У), р)dy) - = [Л (т1о) - 6,Л (~ Tlo)] ф (т1о, р) + 5 [Л (л) - 6, Л (- Т1)] ф (т1, р) dy\, р>0, (11.92) (аа + b.Jp (То. р) - (то, - р)] + + [- е-л (%) 4- ЬеЛ (- tio)Jф(- tio, р) + t + \ [- (Т1) + (- Tl)] ф (- Tl, р) rfTi = = [- V-л (Tlo) + е/Л (-Tlo)] Ф (Tlo, р) + + \ [-"М(г1) + е-М(-т1)]ф(т1, iijdy], р > 0. (11.93) Для получения уравнений (11,92) и (11.93) были использованы соотношения взаимности собственных функций: Ф(, .-(х) = ф(-, р), (11.94а) ф(-, -р) = ф(, р), (11.946) g = d=Ti) или Tie (О, 1). Заметим, что правые части уравнений (11,92) и (11.93) представляют собой разложения в пределах половины интервала изменения р, аналогичные выражению (10.22а). Согласно теореме полноты для половинного интервала, сформулированной в гл. 10, эти разложения носят достаточно общий .характер, чтобы с их помощью представить произвольную функцию (т.е. левые части этих уравнений), определенную в интервале р е (О, 1). Входящие в эти уравнения коэффициенты разложения можно выделить, используя свойство ортогональности собственных функций и описанные ниже различные интегралы нормировки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Чтобы определить дискретные коэффициенты Л (тю) и Л(-Tlo), преобразуем обе части уравнений (11.92) и (11.93) с помощью оператора \ч>{Щ, Ja) IF (д) Cfjx, (11.95а) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |