Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Удобно разбить общую задачу, описываемую системой уравнений (11.55), на более простые задачи путем введения новых зависимых переменных:

G (т) = Go (т) + G, (т) + G2 (т), (11.56)

где функции Gi(T) (t = О, 1, 2) представляют собой решения Трех простых задач

-£-/(2(5(х)=.-б,Д24аГ? при 0<т<т,. (11.57а)

г 2 , dGi {%)

3 dx a2Gi{x)b,--7-

j. oh45{. (11.576)

= 6,,4е,аГ2, (11.57в)

3 dx

- ~ to

где ( = О, 1 или 2.

Теперь введем новые безразмерные функции il.-i(T) (t = О, 1 или 2), определяемые следующим образом:

G (т) = 4дЦ% (т) + 4&dT\i (х) + 4гдТ1% (т). (11.58)

Тогда вспомогательные задачи, описываемые уравнениями (11.57), заменятся тремя другими простыми задачами:

KiPi{x)= - doiK при 0<т<то, (11.59а)

«..(х)-б,-

3 dx Ji„o

11.596) ;11.59b)

где I =« О, 1 или 2 н

После того как в результате решения уравнений (11.59) получены функции т1;(т) (/ = 0, 1 или 2), можно рассчитать пространственную плотность падающего излучения G(t), интенсивность излучения / (т, р) и плотность потока результирующего излучения q{x) в среде по формулам

G{x) = 4 t гдЩ,{х),

(11.60а)

/ (t. ti) = i X -1 h - ] -606)

(И.бОв)

где Bo =b I и ; =» 0, 1 или 2.

Физический смысл функций 11;г(т) следующий. Функция iI.-o(t) соответствует простой задаче для случая серой среды с постоянной температурой и граничными поверхностями, имеющими нулевую температуру. Функция т1?[(т) соответствует простой задаче, когда граница т = О поддерживается при постоянной температуре, а граница т = тд и сама среда имеют нулевую температуру. Функция i1;2(t) имеет тот же смысл, что н г1?[(т) с той лишь разницей, что температуры границ меняются местами.

ТОЛЬКО РАССЕИВАЮЩАЯ (КОНСЕРВАТИВНАЯ) СРЕДА

В случае чисто рассеивающей (т.е. консервативной) среды (0 = 1; тогда К=0 и задачи, описываемые уравнениями (11.59), упрощаются:

d\>i (т)

tlx-

О прн 0<т<То.

, , 2 , difi (Т)

dx Jx = Q

a,S,ix) + b,-] ==62/.

(11.61,a) (11.616) (11.61b)

где ( =: 1 или 2.

После того как в результате решения уравнений (11.61) получены функции il;i(T) (/ = 1 или 2), простраиствеииую плотность падающего излучения G (т), интенсивность излучения /(т, р) н плотность потока результирующего излучения q в среде можно рассчитать по формулам

4 Z earjij?, (т), (11.62а)

G(T)

( д) = 2]*=пК)-

dil (Т)

(11.626) (11.62b)

Плотность потока результирующего излучения q в только рассеивающей среде ие зависит от х. Это легко показать, если обратить внимание на то, что решение уравиеиия (11.61) имеет вид i]3i(t)= Cl + Сат, а q проиорцнональна dyifdx.

Решения уравиеиий (11.59) и (11.61) находятся просто, и нет необходимости их здесь приводить. Однако для иллюстрации

применения Pi-приближения рассмотрим задачу с прозрачными

границами.



ПЛОСКИЙ слои с ПРОЗРАЧНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Рассмотрим слой поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей среды с постоянной температурой Го, прозрачными границами т = О и т = То при отсутствии падающего извне излучения. Используя Pi-приближение, найдем угловое распределение интенсивности излучения и плотность потока результирующего излучения.

В случае прозрачных границ уравнения (11.57) упрощаются вследствие того, что pj = p = e = 0, где /=1 или 2 (т. е. Oi = а2= 1 = !) В результате получим

do (т)

(2(5(t) = -:мдг при о<т<Тд, (и.бЗа)

= 0, (11.636)

г / л 2 fGo (т)

= 0.

И.бЗв)

уравнения для G\{x) и G2(t) имеют тривиальные решения и поэтому здесь не приводятся. Задача, описываемая системой уравнений (11.63), симметрична относительно т = То/2, поэтому проще рассмотреть решение в области О т То/2 с условием симметрии в качестве граничного условия при т = io/2. Заменим уравнение и граничные условия (11.63) следующей системой:

i!M± :2,(T) = -K при 0<т<-, (11.64а)

2 rfiio(T)

3 dx Jt=o

-О, = 0.

(11.646) (11.64b)

(11.64r)

Решение системы уравнений (11.64) имеет вид

il;n(t)=l-

ch/C[(To/2)-T]

ch (/СТо/2) +К sh (KV2)

(11.65)

Тогда выражения для интенсивности излучения /(т, \х) и плот-цостн потока реэультирующего излучения ?(т) примут вид [см.

(11.606) и (И.бОв)]

1 сЬУС[(у2)-т] + цУСзЬУС1(т,/2)-т] ch{KxJ2)+~Ksh{Kxd2)

Ч \х)~ 2 о - - 7 о-/ п

° ch (У(:то/2) +- УС sh UW2)

Для границы т = О соотношения (11.66) упрощаются:

/(О, и) = -

=,т4 о

(0) = -дГ

11.666) ;il.67a)

; 11.676)

Выражение (11.676) для плотности потока результирующего излучения характеризует также плотность потока выходящего излучения на границе т = О, поскольку в данном случае отсутствует падающее извне излучение. Угловое распределение интенсивности выходящего излучения можно определить с помощью (11.67а).

Для полубескоиечной среды (то -* оо) выражения (11.67) упрощаются

дт1 К (1 \

/(О, )~--Къ-П

; 11.686)

Выражения (11.67а) и (11.68а) для углового распределения интенсивности выходящего излучения имеют ограничения. Согласно этим выражениям, на границе т = О интенсивность направленного внутрь излучения имеет конечное значение, несмотря на то что на этой границе отсутствует падающее извне излучение в направлениях О < р 1. Эдварде и Бобко [13] сопоставили распределение интенсивности выходящего излучения, полученное с помощью метода моментов самого Низкого порядка (т. е метода, эквивалентного Р,-приближению), с точным решением Чандрасекара [1] для полубескоиечной среды. Расхож-



дение точного н приближенного решеный для углового распределения интенсивности выходящего излучения оказалось значительным, однако результаты для плотности потока выходящего излучения хорошо согласуются друг с другом.

ТОЧНОСТЬ РАСЧЕГА ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ Р]-ПРИБЛИЖЕНИЯ

Чтобы продемонстрировать точность расчета плотности потока результирующего излучения с помощью Р[-приближения, рассмотрим плотности потоков результирующего излучения (?(0) н q[{0) на границе т = О, полученные в результате решения уравнений (11.59) для i = 0 и 1=1 соответственно при (О 1. При этом получим

Qo(0)

4

- - {-аЛ-а сЫх + 4 Ь,К sh КтЛ , (11.69а)

3D \ о /

Qi (0) = - v4 (2 ch Кто +1 sh /Сто), (11.696) где

D{a, + sh Кх, + \К {b, + ) ch «т,

В случае только рассеивающей среды (т.е. о) = 1) выражение для плотности потока результирующего излучения i, полученное путем решения уравнений (11.61) при записывается следующим образом:

«10 +-3- [1 -f (ai&2/«2)l

(U.69b)

Заметим, что в только рассеивающей среде плотность потока результирующего излучения постоянна по толщине среды.

В табл. 11.3 сравниваются значения безразмерной плотности потока излучения вычисленные по формулам (11.69) (т, е. в Р1-приближен1Н]), с результатами точного решения, полученными в работе [29], Pi-прнближение, по-видимому, приводит к завышению плотности потока результирующего излучения во всех рассмотренных здесь случаях, хотя для только рассеивающих сред точность достаточно хороша. Однако для излучающих, поглощающих и рассеивающих сред точность не столь хороша; величина ошибки зависит oi оптической толщины, значения со н отражательной способности граничных поверхностей.

Таблица h.3

- ---------------I. "-<и1ЦЬЮ

/,-1риОлнженид для слоя с прозрачными границами 29]

а) Излутющая, поглощающая н изотропно рассеивающая среда, w < I

Р""з плотности потока излучения с помощью

10,0

10,0

10,0

-Q (0)

Р-прнб-лнжепне

0,5 О О О

0,1810 0,1376 0,0951 0,8142 0,7106 0,6165 0,8989 0,8989 0,1814 0,8935 1,072

точное зешение

0,1736 0,1316 0,0911 0,7572 0,6510 0,5591 0,8535 0,8531 0,1674 0,7806 1,0000

XlQD

4,3 4,6 4,4 7,5 9,2

10,2 5,3 5,4 8,3

14,4 7,2

Q, i)

лижепче

точное решение

0,1810

0,5839

0,9779

0,8142

0,8632

0,9076

10,0

0,8989

10,0

0,8989

б) Только рассе

шзающая среда

(О =

= 1, Р[ =

0,1736 0,5753 0.9616 0,7572 0,8154 0,8658 0,8535 0,8535

4,3 1,5 1,7

7,5 5,9 4,8 5,3 5,3

0,1 0.1 1,0 1,0 10,0 10,0

Р-приб-лижение

точное эешение

0,5 О

0,5 О

0,5 О

0,4819 0,9302 0,3636 0,5714 0,1052 0,1176

0,4780 0,9157 0,3562 0,5534 0,1015 0,1167

0,82 1,59

2,07 0,26 0,69 0,77





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101