|
| |
|
Главная Журналы Разрешая последнее выражение относительно К{г\), получаем к (г>\ - 2л Arcth (1/т1) l-iutiArcihii/ti) Подстановка К{г\) в уравнение (10.138а) дает ((i) Т1-1Х 1-mt) Arcth (l/n) (10.1406) (10.141) В свою очередь подстановка (10.141) в (10.136) дает частное решение уравнения (10.132) для свободного члена вида е~У /р(. t)-,-, 1-со, Arcth (1/,) 0<со<1, Л>1, (10.142) которое приведено в табл. 10.6. Правильность частных решений, привеченных в табл. 10.6, может быть проверена прямой их подстановкой в уравнение (10.132). ПРИМЕЧАНИЯ ) Случай (В > 1 представляет интерес для некоторых задач теории ядерных реакторов. ) Интеграл от функции f(x) в смысле главного значения Коши в интервале от X = а до X = Ь, внутри которого в некоторой точке х - с функция f{x) обращается в бесконечность, определяется следующим образом: dx =» lim 8->0 J f{x)dx- f{x)dx а с+е если только такой предел существует. Например, в интеграле {dxfx) подын- тегральная функция \/х обращается в бесконечность прн х = 0. В этом случае интеграл в смысле главного значения Коши равен 2 /-8 2 \ -1 -I 6 = In 2. Обзор соответствующих достаточно гладких функций дан в приложении Следовательно, предел существует. Обзор С001 работы [2]. *) В случае когда рассматривается Отрицательная половина диапазона р (т. е. -I А 0), весовая функция может быть задана в виде 5) Интеграл нормировки N{r\o) можно представить в виде 1 I л- (ЛО) = \ (го, w Ф = \ -j = [ - [ J (f\a~]iy 2 J Tio -[J Из условия нормировки (10.6) имеем 2 J - 1 Подставляя (2) в (1), получаем окончательный результат lutln Л(т1о)= 2 mtlo 2 J 2 Uo-I 4) ) Вычисление интеграла в выражении (10.42) требует некоторых пояснений. Непрерывные собственные функции, фигурирующие в этом уравнении, равны [см. уравнение (10.16)] Ф(1. й) --ья(а)б(-л), ?=п (-1-1). (1) Подстановка этих собственных функций в (10.42) после соответствующих перемножений приводит к появлению четырех членов. Интегралы, фигурирующие в трех из Этих членов, рассчитать легко. Однако четвертый член содержит интеграл вида 1 С Р Р - mtin \---7-и da. 4 " jti-pti-li* Этот интеграл может быть взят с помощью формулы Пуанкаре - Бертрана, приведенной Мусхелишвили [21]: Т1 - i = 5ч5(]}т? + "/(л.л) Lf If S S / (Ч-. W - ) + (л, Л). (3) d\x = Мнемоническая форма записи формулы (3) может быть представлена следую-щим образом: ---=-- ( /--1 + (П ~ й) б (V - й)- (4) После вычисления всех интегралов, входящих б состав выражения (10.42), получаем правую часть содержащую множитель N{r\), определяемый формулой (10.43). ) Интеграл в (10.46а) берется с помощью формулы Пуанкаре ~ Бертрана [21], приведенной в примечании 6. *) Соотношения (10.63) могут быть получены, например, следующим образом. Рассмотрим дискретные собственные функции, записанные в виде (Т1о + i) ф (± Т1о, й) 2 • получаем а) Преобразуя обе части равенства (1) с помощью оператора rfp, По J ф(+По, й) =Р АФ(± По. i) =«>По. -1 -1 С учетом условия нормировки ф (± tio, а) = 1 соотношение (2) прини- Аф ( ± Tlo, Ц) - ± Т1о (! - (й), мает вид что совпадает с (Ю.бЗа). б) Преобразуя обе части равенства (!) с помощью оператора \i.d]i. получим По АФ(± По. И) =Р аЧ(± По, i) -0--1 -1 Подстановка (3) в (4) дает 1 \ АФ(±ПоИ)И = По(1-й1 что сорп?дает с формулой (Ю.бЗб), 2V1 mJ По-i Это же выражение можно использовать для расчета у"- Однако при малых 10 могут возникнуть трудности в вычислениях, связанные с тем. что Чо""! при (В->0. Для устранения этих трудностей выражение (I) записывается в ином виде [23] (26) a (i) - функция Чандрасекара для изотропного рассеяния. Для получения (2) использовано следующее соотношение. 7== - +по1-+ (3) 2 J Tio~-i = 1. •") При ti < 1 интеграл в (10.139) берется в смысле главного значения и его вычисление нуждается в специальном рассмотрении. ЛИТЕРАТУРА 1а. Case К. М., Elementary Solutions of the Transport Equation and Their Applications, Ann. Phys. (N. Y.), 9, 1-23 (i960) lb. Case К M, Recent Developments in Neutron Transport Theory, Michigan Memorial Phoenix Project, Lectures Presented at the Neutron Physics Conference, Oniversity of Michigan, Ann Arbor, Mich, June, I96I. 2. Case K. M., Zweifel P. F., Linear Transport Theory, Xddison-Wesley Publishing Co, Reading. Mass., 1967. 3. Inonu E, Zweifel P. F. (eds.), Developments in Transport Theory, Academic Press, New York, 196/. 4. Mika J. R., Neutron Transport with Anisotropic Scattering Nucl. Sci Eng. П, 415-427 (1961), 5. Shure P., Natelson M., Anisotropic Scattering in Half-Space Transport Problems, Ann. Phys (N Y.), 26, 274-291 (1964). 6 Knscer 1., McCormick N. J., Summerfield G, C., Orthogonality of Cases Eigenfunctions in One-Speed Transport Theory, Ann. Phys. (N, Y.), 30, 411-421 (1964). 7 McCormick N. J, Ku§cer 1., Half-Space Neutron Transport with Linearly Anisotropic Scattering, I. Math. Phys, 6, 1939-1945 (1965). 8 McCoimick N. J, Kuser 1., Bi-ortKogonality Relations lor Solving Half-Space Transport РгоЫешз, /. Math. Phys., 7, 2036-2045 (1966). ) Определение величины у"* может быть получено из соотношений (1081) и (10.29а) в виде 9. Ferziger J. Н., Simmons G. M., Application of Cases Method to Plane-Parallel Radiative Transfer, Int. J. Heat Mass Transier, 9, 987-992 (1966). 10. Kriese J. Т., Siewcrt C. E., Radiative Transfer in a Conservative Finite Slab with an Internal Source, Intern. J. Heal Mass Transfer, 13, 1349- 1357 (1970). 11. Ozisik M. N., Siewert C. E., On the Normal-Mode Expansion Technique for Radiative Transfer in a Scattering, Absorbing and Emitting Slab with Specularly Reflecting Boundaries, Int. J. Heat Mass Transfer, 12, 611-620 (1969). » 12. Beach H. L., Ozisik M, N., Siewert C. E., Radiative Transfer in Lineariy Anisotropic-Scattering, Conservative and Non-conservative Slabs with Reflective Boundaries, Int. J. Heat Mass Transfer, 14, 1551-1565 (1971). 13. Siewert C. E., Zwcifel P. F., An Exact Solution of Equations of Radiative Transfer for Local Thermodynamic Equilibrium in the Non-gray Case: Picket Fence Approximation, Ann. Phys. (N. Y.), 36, 61-85 (1966). 14. Siewert C. E., Zweifel P. F., Radiative Transfer, 11, /. Math. Phys., 7, 2092-2102 (1966). 15. Simmons G. M., Ferziger J. H., Non-gray Radiative Heat Transfer Between Parallel Plates, Int. J. Heat Mass. Transfer, 11, 1611-1620 (1968). 16. Siewert C, E., Ozi§ik M. N., An Exact Solution in the Theory of Line Formation, Monthly Notices. Roy. Astron Soc, 146, 351-360 (1969). 17. Reith R. J., Jr., Siewert C. E., Ozisik M. N., Non-gray Radiative Heat Transfer in Conservative Plane-Parallel Media with Reflecting Boundaries, /. Quant. Spectry. Radiative Transfer, II, 1441-1462 (1971). 18. McCormick N. J., Kucer I., Sing-uJar EigenfuncJion Expansions in Neutron Transport Theory, in «Advances in Nuclear Science and Techno!ogy», Vol. 7, Henley E. J., Lewins J. (eds.) (в печати). 19. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953, 20. Kourganoff v., Basic Methods in Transfer Problems, Dover Publications, New York, 1963. 21. Мусхелишвили H. И., Сингулярные интегральные уравнения, изд-во «Наука», М., 1968. 22. Case К- М., Hoffmann F., Placzek G., Introduction to the Theory of Neutron Diffusion, Vol. 1, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, N. M., 1953. 23. Lii C. C, Normal-Mode Expansion Technique in Radiative Heat Transfer (диссертация). Mechanical and Aerospace Engineering Department, North Carolina State University, Raleigh, N, C, 1972. 24. Stibbs D. W. N., Weir R. E., On the H-Function for Isotropic Scattering, Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 119, № 5, 512-525 (1959). 25. McCormick N. J., One Speed Neutron Transport Problems in Plane Geometry (диссертация). Nuclear Engineering Department, University of Michigan, Ann Arbor, Mich., 1965. 26. Lundquist C. A., Horak H. G., The Transfer of Radiation by an Emitting Atmosphere, IV, Astrophys. J., 121, 175-f82 (1955). 27. Freund H.-D., Particular Solutions of the Unhomogeneous One-Velocity Boltzmann Equation in Plane Geometry, Atomliernenergie, 14, 222 (1969). 28. Ozi§ik M. N., Siewert C. E., Several Particular Solutions of One-Speed Transport Equation, Nucl. Sci. Eng., 40, 491-494 (1970). ГЛАВА 11. ТЕПЛ00Б]У1ЕН ИЗЛУЧЕНИЕ]У1 В ПОГЛОЩАЮЩИХ, ИЗЛУЧАЮЩИХ И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕДАХ В целом ряде приложений теории теплообмена излучением в поглощающих, излучающих и рассеивающих средах теплопроводностью и конвекцией можно пренебречь. Например, в пористых материалах- волокнистых, порошковых и других, - используемых в качестве легких теплоизоляторов как при низких, так и при высоких температурах, излучение является основным механизмом переноса тепла. В таких теплоизоляционных материалах содержится большое количество пустот, причем некоторые из них имеют вид диспергированных пузырьков. В процессе прохождения излучения сквозь такую среду оно поглощается, рассеивается и повторио излучается поверхностью волокнистых материалов или поверхностью пузырьков. Другой пример - в ракетных двигателях, работающих на алюминизированном твердом топливе, продукты сгорания содержат значительное количество твердых частиц микронного размера, которые рассеивают излучение. Поэтому проблема теплообмена в высокоскоростном турбулентном потоке высокотемпературного газа, содержащего рассеивающие частицы, представляет собой, по существу, проблему переноса излуче1шя в поглощающей, излучающей и рассеивающей среде. Теория переноса излучения и ее приложения применительно к проблемам астрофизики представлена в монографиях [1-4] и в ряде других работ. Количество публикаций, посвященных инженерным приложениям теории теплообмена излучением, постоянно возрастает. В работах [5, 6] исследован теплообмен излучением в плоском слое поглощающего и излучающего газа, заключенного между двумя параллельными излучающими черными пластинами. Хауэлл и Перлмуттер [7, 8] применили метод Моите-Карло для решения аналогичных задач в случае отражающих границ. В работах [9-И] получено численное решение задачи теплообмена излучением в плоском слое поглощающего, излучающего и рассеивающего газа. В работе [12] использовано приближение экспоненциального ядра, а в работах [13, 14] применен метод моментов для приближенного решения задач теплообмена излучением в плоском слое. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |