|
| |
|
Главная Журналы Для Простоты примем, что граничная поверхность т = 0 прозрачна, и на нее извне падает излучение, обладающее осевой Симметрией. Уравнение переноса излучения имеет вид д! (х, \х) , j / , ,, . оТ (т) , ю Г , , , , (10.92) с граничными условиями /(т, и) lt-0 = (i > 0. (10.93) При т-*-оо решение стремится к частному решению /р(т, р) уравнения (10.92). Предположим, что распределение температуры Г(т) в среде задано и получено частное решение 1р{х, р) уравнения (10.92). Полное решение уравнения (10.92) равно сумме собственных функций соответствующего однородного уравнения и частного решения [см. (10.186)] / (т, р) Л (т1о) ф (т1о, р) е-/о + Л (- т1о) ф (- tio> )) e""" + 1 I + 5 Л(т1)ф(т1, p)e-/nrfi J Д( )ф( )eidx\ + Ip{x, р), о (10.94) где (т1о), А.{--х\), А{х\) и Л(-п)-произвольные коэффициенты разложения, которые необходимо определить. Поскольку решение (10.94) должно удовлетворять граничному условию на бесконечности, из него необходимо исключить члены, неограниченно возрастающие на бесконечности, после чего выражение (10.94) упростится и примет виД 1{х, [х) = Л(т1о)ф(т1о, (i)e"-/-+ J Л(т1)ф(т1, p)e-/nrfTi+/(T, ), (10.95) который удовлетворяет и уравнению (10,92) и граничному условию на бесконечности. Коэффициенты разложения A{x\q) и А{х\) можно определить, потребовав, чтобы решение (10.95) удовлетворяло граничному условию (10.93), а также использовав свойство ортогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Из граничного условия (10.93) получаем /(О, р) = Л(т1о)ф(т1о, р) + \ Л(т1)ф(т1, р)с/т1, р(0, 1), (10.96а) Функция /(О, р) предполагается известной, так как /(р) и частное решение уравнения (10.92) считаются заданными. Функция /(О, р), определенная в положительпой половине диапазона изменения р, представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям; законность такого представления основана на приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения А(т\о) и А{т\) могут быть определены с помощью соотношений ортогональности собственных функций в половине диапазона р и различных интегралов нормировки. Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты А{г\о) и А{г\) можно получить, используя соответственно формулы (10.54) и (10.56). Коэффициент Л (По) равен ЛЫ-vT;Stt()ф(Пo, р)/(0, p)rfp, (10.97а) о ЛЫ = -(У (10.976) tt(ti) = (no-ti)Y((t). (10.97b) а А{т]) равен = [(1 - Arcth г,У + (У] = (, 0.986) После определения коэффициентов разложения Л (то) и А{г\) с помощью соотношения (10,95) можно найти распределение интенсивности излучения /(т, р). Затем могут быть вычислены другие физические величины, такие, как пространственная плотность падающего излучения G{x) и плотность потока результирующего излучения ((т). Пространственная плотность падающего излучения определяется из выражения 0(т) = 2л J 1{х, \i)d\i = -1 Л(т1о)е-/»+5 Л(т1)е-/т1 + /р(т, p)fip . (10.99J f (О, (А)/(р)-/р(0, р), р(0, 1). (10.966) так как (р (, [х)с/[х = 1 при l = r\q или п s (О, 1). Плотность -I потока результирующего излучения равна (?"(т) = 2л р/(т, р,)с/л - Q -I (10.100) так как J Аф(, лл = (I - и) при -По или п(0. О--I Другой физической характеристикой, представляющей интерес, является угловое распределение интенсивности выходящего излучения /е(0, х) [[Л S (- , 0)] на границе т = 0. Эта величина может быть определена из выражения (10.95), если в нем принять т = О и л <; 0. Получаем /ЛО, = Л(т1о)ф(По, 5л(т1)ф(П> ti)rfn+p(0, t)- (t<0, (lO.lOla) нли, в другой форме, /.(О, -11) = (По)ф(Лс $ (п)ф(п. ~ti)rfn + + /р(0, -ti), [i >0. (10.1016) функция, характеризующая распределение выходящего излучения, /е(0, л) [ге(-1,0)], отличается от функции /(О, ц,) [л е S (О, 1)], описывающей граничные условия. Отметим, что интеграл, входящий в (10.101), является несингулярным. ПРОСТОЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ВЫХОДЯЩЕГО ИЭчПУЧЕНИЯ Интенсивность выходящего излучения на границе можно определить по формуле (10.101), если описанным выше способом найдены коэффициенты разложения A{x\q) и А{х\). В работе [7] предложен другой, простой метод расчета интенсивности выходящего излучения без предварительного определения коэффициентов разложения. Ниже приводится изложение этого метода. получим i \ W{)x) ф (-H, (i) f (0, [i) di = Л (ло) 5 (И) ф (- ti. V-) Ф (По, И) d\y. о о 1 г 1 + 5Л(П) \W{\i){~\i\\i)(f{r\.)x)d]x dr\, ц>0. (10.104) Интегрирование по л в правой части (10.104) может быть проведено с помощью соотношений (10.73) и (10.74), имеющих вид f 1г ([i) ф (- \i) ф (По, \i)d\i= (аУцоХ (- ti) = о • = }(По + Ю(-)ф(По, - А (10.105) \W(li)(f{~lx, 1)ф(П. 1)Р = «П(По + 1)(-Юф(-(1, л) = о = }о)ц(По+Ю(-Юф(Л. (10.106) Подстановка соотношений (10.105) и (10.106) в (10.104) дает I = J (oi (По + (iO (- \) do) ф (По, - Ю + I + 5(П)ф(П, -P)dn]. W>0. (10.107) Рассмотрим выражение (10.96а) f(0, 1) = Л(т1о)ф(По. р) + $(Л)ф(П. \)dA, (i>0. 0<П<1- " (10.102) Преобразуя обе части этого равенства с помощью оператора 1 5ir([i)(p(-n, )x)d)x, [i>0, (10.103) Меняя местами р и л, получаем Л(г1о)ф(т1о, -р)+5 Л(т1)ф(т1, ~ii)dn, ii>0, (10.108) и, заменял \i на -р, приходим к выражению (т1о-й)(1) 51Г((х)Ф(р, (i)f(O. (iOli Л(т1о)ф(т1о, р) + 5 Л(т1)ф(т1, ii)dn, ii<0. (10Л09) Соотношение (10Л09) является искомым выражением, позво-ляюшим исключить коэффициенты разложения из правой части (10Л01а). Подставляя (10Л09) в (10Л01а), получаем /ЛО, р) = /р(0, р)- Выражение (10 110а) позволяет довольно просто определить интенсивность выходяшего излучения при т - 0. Интеграл в (10Л10а) не является сингулярным. Для удобства вычислений целесообразно представить (10.110а) в виде (О, р) /, (О, р) -j\y (рО (-L- + -1-.) / (О, ) rf,, , < о, (ЮЛ 106) (ЮЛИ) (ЮЛ 12) (10.113) так как 2 f* II-li Tin ~ 1 (т1а - i) (i - й) Til - й ~ i - • Рассмотрим теперь некоторые частные случаи описанной выше задачи. а) Полубескоиечиое пространство, иа которое извне падает изотропиое излучение. Рассмотрим случай, когда на полубеско-нечиую среду, находящуюся при постоянной температуре Го, через прозрачную границу т = 0 извне падает изотропное излучение интенсивностью /о- Математическая постановка задачи имеет вид д! (х, ц) оТл м с + р) = (1-а))+у \ /(т. ii)dii для 0<т<оо, -Kl, а)<1 (10.114) с граничными условиями /(О, р) = /о, р>0. При тоо решение стремится к частному решению /р(т, р) уравнения переноса излучения. Частное решение уравнения (10.114) имеет вид (см. табл. 8.1) (10.115) Тогда полное решение задачи можно записать [см. (10.95)], /(т, г) = Л(г1о)ф(г1о, 1х)е-"-\-\Л{ц)(р{г], ) е- firi +. (ЮЛЮ) Коэффициенты разложения Л{цо) и Л{г\) легко определяются из выражений (10.97) и (10.98) соответственно, в которые f (О, ц) подставляется в виде [см. (10.966)] f(0)/o- = const. (10Л17) Тогда дискретный коэффициент разложения Л{г\о) можно записать следующим образом: Здесь для определения интеграла в (10.118) мы воспользова лись формулой (10.75). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |