|
| |
|
Главная Журналы Изменение порядка интегрирования дает о 0-0 (10.596) Интеграл в скобках определяется выражением (10.47а), после чего получаем 1 I 5 Y (1) ф (V, V) n\)d\i = \A (т)) Y (л) б (п - пО rfT]. (10.59b) Выполнив интегрирование в правой части и поменяв в результирующем выражении местами г и ц, получаем непрерывный коэффициент в виде Л (л) Y (П) (П) 5Y(i)ф(л, 1А)/(Ю(х. (10.59Г) где Л(т1) определяется выражением (10 476). 10.6. СВОДКА ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ При рещеиии задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится иитег-рировагь в полном и половинном днапазо]1ах нзменещая а различные функции нормальных мод Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и более полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25] а) Полный диапазон изменения ji (-1<д<1). Интегралы нормировки для дискретных собственных функций имеют вид \ 1гф2(±11о, 1а)1а = ±Л(По), (10.60а) -1 iVK) = io,,3(- L>), (10.606) а для непрерывных собственных функций \ цф(11, ц)ф(п. ])d\i = М{ц)Ь{ц~ц), (10.61а) -1 () = nr(I-o>nArcthn)-f()>. о><1. (10.616) Соотношения ортогональиосги имеют вид 1 5 Цф (л, V-) Ф Ло, 1л) d\i = О, -1 1 5 Цф (Ло> ф (- Ло, Ц) d\x = 0. (10.62а) (10.626) К числу других полезных интегралов при о) < 1 следует отнести [25]«) I цф(± 11о. li)rfn=-±T]o(l-(о), -1 5 цф(±11о. а)ц=Л§(1-и), -1 \ Цф(Л, \i)d\i = y\{\ - ci), -I 1 \ Л (Л, M.)tfti = n(l (10.63а) (10.636) (10.64а) (10.646) При (а - 1 ссютиошеиия (10 63) упрощаются:
(10.65а) (10.656) так как hm ф(± ц) = и lim ii5(1 - (о) = -3 а соотношения (10.64) принимают вид 5 л p)rf(i=o. (10.66а) (10.666) б) Половина диапазона изменения [л" (О Ц 1 )• Интегралы нормировки для дискретных собственных функций имеют вид 1 $ЙЫф(Ло, \i)dii = N{T]o), (10.67) ЛЫ=- (-)(т1Д (О < 1, (10.68а) tt(ti) = (%-li)Y((i), 1, (10.686) а для непрерывных собственных функций 1 (V, р) ф (Л, (i) rfp - tt ((i) 6 (Л - V). (10.69a) 0<Ti, - (1-coTi Arcth Ti)2 + () = -. (o<l. (10.696) где A(Ti) - ~ = .-cor,aгcxпт,г-J Ниже приводятся другие полезные соотношения для случая, когда и < 1 н 0<11 Л<Ь 1 Ц7 (р) ф (Т1з, р) ф р) = о, (10.70) 5и(р)ф(-т1э, р)ф(л- р)(1 = (от1т1Д(-Т1о)ф(-т1), т]), (10.71) 5 tt7 (р) ф (± т1о. р) ф (т1„ р) rfp = + (i) л: (± т1о), (10.72) 5и7([х)ф(-т1, р)ф(ти, p)rf =1а)2Т1Д(-т1), (10.73) 5 tt7 ([i) ф (- ц, [i) ф (т], ) 1 ИТ] (Т1о + Ti) ф (- п, V) X (- Т1), (10.74) \W{ii)(p{T\o, )rfi = (OTio, (10.75) \ рЦ7(г)ф(т1о. (i)rffi = Y«rioY4 (10.76) 5 ри7(р)ф(т1о. i)rfp =l(orioY*2>, (10.77) \w{\i)4>{\i)dli\m> (10-78) 5 ptt ((i) Ф (л. li) = i [Y<» + Л - Ло], (10.79) ] Рй (1) Ф (т1. Р) rfp = i (0Г1 [yf* + (TI - rio) (Y"» + 4)1 (10.80) где моменты у" функции у(р) определены следующим образом: YWpy(p)(i, / = 0, 1,2,3..., (10.81) и [см. уравнение (10.37)] y«)5 Y(ti)rf(=l. Функция y(i) связана с функциями Я(р) н X{-\i) соотношениями (10.29). В табл. 10.5 приведены численные значения моментов Y" для некоторых различных значений ath Приведенные выше соотношения могут быть записаны в другой форме, если учесть, что и7(р)ф(т1о, р) =/аПоу ((t). Например, выражения (10.70), (10.72) н (10.73) соответственно примут вид Y(i)9(,(i)(t = 0, (10.82) y ((i) Ф (± ti) (t = Т «0 (± Ло). (10-83) \ У()ф(-> p)rfp =y(OTiX(-Tl). (10.84) я •В-
При ю=1 эти соотношения могут быть упрощены, если раз делить обе части равенств на и перейти к пределу иГ Например, из (10,67), учитывая, что при w=\ г]о-°°, ф(ло. (t)-V2 и 11о(-11о)- 1 получаем I Подобным же образом упрощается (10.69) 0<т1, л< 1, Ь (10.86а) = [(l-Arcthnf + (f У] = . (10.866) Приведем еще ряд соотношений для ©=1, Ол, 1 5\(1)ф(Л, i)rfH = 0, iY(l)Ф(л, (i)rfti = - Y(i)(p(-n- (i)rfi = у(-л). о 5 Y ((t)Ф (- П. (t) Ф (л. (I) = Ф (~ Л- л) (- л) = (10.87) (10.88) (10.89) (10.90) 4 Т1 + т1 -Х{~ц), (10.91) 10.7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ ПРИ ю<1 Для иллюстрации применения метода разложения по собственным функциям при и < 1 рассмотрим задачу теплообмена излучением в плоском полуограниченном (О т < оо) слое поглощающей, излучающей, изотропно рассеивающей серой среды 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |