Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

функция Х(-ц) для случая изотропного рассеяния

ш = 0,1

ш = ОД

о. =0,3

Vi = 0,4

а> = 0,5

ш = 0,6

о = 0,7

W = 0,8

ш = 0.9

су = 1,0

1,054093

1,117932

1 ,192138

1,272435

1,3541 15

1,434618

1,512873

1.588529

1.661554

1,732051

0,05

0,996119

1,047880

1,108024

1,172613

1,237472

1,300424

1,360633

1,417893

1.472267

1,523921

0,10

0,946549

0,990925

1,042449

1,097515

1.152391

1,205 1 87

1,255224

1,302383

1.346772

1,388584

0,15

0.902308

0,941123

0,986158

1,034109

1,081615

1.127017

1,169754

1,209764

1,247181

1,282209

0,20

0,862333

0,896727

0,936606

0,978935

1.020672

1,060345

1,097485

1,132071

1,164250

1,194228

0,825936

0.856706

0,892364

0.930111

0,967 1 80

1,002257

1,034946

1,065251

1,093330

1,1 19383

0,30

0,792606

0,820347

0.852477

0,886411

0,919620

0,95 0922

0.979979

1,006816

1,031 594

1.054507

0.35

0,761944

0,7871 13

0.816251

0,846962

0,876924

0,905071

0,931110

0,955083

0,977147

0,997493

0,40

0,733624

0,756584

0.783153

0.811105

0,838302

0.863775

0,887271

0,908841

0,928640

0,946851

0,45

0,707377

0.728421

0,752763

0,778330

0,803147

0,826328

0.847654

0,867182

0,885064

0.901476

0.50

0,682975

0,702344

0,724739

0,748227

0.770976

0,792175

0,811630

0.829406

0,855649

0.860527

0,55

0,660225

0,678118

0,698801

0,720462

0.741401

0,760870

0,778701

0,794958

0.809787

0,823344

0.60

0,638962

0,6555 47

0,674712

0,694759

0,714102

0,732053

0,748461

0,763393

0,776989

0,789401

0,65

0,619040

0,634460

0,652273

0,670886

0,688814

0,705423

0,7205 7 6

0.734344

0,746861

0,75 8i70

0,70

0,600336

0,614713

0,631316

0,648646

0,665314

0,680729

0,694770

0,707509

0,719072

0,729599

0,75

0,582738

0.596177

0,611692

0,627 8 71

0,643410

0,657759

0,670810

0,682633

0,693351

0,703097

0,80

0,566151

0,578742

0,59 3276

0,608417

0,622940

0,636332

0,648496

0,659501

0,669466

0,678516

0,85

0,550489

0,562312

0.575956

0,590158

0,603764

0.616294

0.627660

0,637930

0,647220

0,655648

0,90

0,535676

0,546800

0,559635

0,572985

0,585759

0,5 975 08

0,608154

0,617763

0.626445

0.634314

0.95

0.521644

0,532130

0.544227

0,55 6800

0,568818

0,579859

0,589852

0,598862

0,606995

0,614361

1.00

0.508332

0,518235

0.529657

0,541520

0,552848

0,563244

0,572643

0,581110

0.588745

0,595655

Таблица 10.4

Функция ц) ДЛЯ случая изотропного рассеяния

(I - «я Arcth )if + Кя/2)

ОУ = 0,1

т = 0,2

со = 0,3

(U = 0,4

VJ = 0,5

to = 0,6

ш = 0,7

т = 0.8

о» = 0,9

W = 1,0

1,000000

1,000000

1,000000

1,000000

1,000000

1,000000

1.000000

1,000000

1,000000

1,000000

0,05

1,000439

1,000754

1,000946

1,001015

1,000959

1,000780

1,000478

1,000051

0,999502

0,998831

0,10

1,001762

1,003032

1,003805

1,004079

1,003855

1,003131

1,001911

1,000198

0,997997

0,995314

0,15

1,003990

1,006874

1,008634

1,009257

1,008739

1.007084

1,004303

1,000414

0,995444

0,989425

0,20

1,007157

1,01235 6

1,0155 35

1,016656

1,015704

1,012692

1,007657

1,000657

0,991776

0,981116

0,25

0,011314

0,019586

1,024659

1,026437

1,0248 85

1,020033

1,011974

1.000860

0,986895

0,970324

0.30

0,016533

1,028716

1,036217

1,038826

1,036467

1,029208

1,017254

1,000930

0,980664

0,956959

0,35

1.022908

1.039952

1,050495

1,054125

1,050697

1.040349

1,023484

1,000735

0,972905

0,940906

0,40

1,0305 63

1,0535 67

1.067875

1,072740

1,067902

1.053620

1,030639

1,000095

0,963383

0,922015

0,45

1,039664

1,069927

1,088873

1,095 214

1.088506

1.069219

1,038661

0.998763

0,951798

0,900096

0,50

1.050429

1,089526

1,114189

1,1 22280

1,113068

1,087383

1,047444

0.996396

0,947756

0.874907

0,55

1,063153

1,113042

1,144794

1,154945

1,142327

1,108388

1,056795

0.992511

0,920748

0,846135

0,60

1.078243

1.141430

1,182065

1,194621

1,177276

1,132534

1.066373

0,986423

0,900094

0,813371

0,65

1.096280

1,176083

1,228029

1,243357

1.219267

1,160114

1,075579

0,977127

0.874880

0,776067

0,70

1,118125

1,219125

1,285812

1,304241

1,270177

1,191317

1,083337

0,963119

0,843836

0,733466

0,75

1,145133

1,274000

13605 33

1,382188

1,332652

1,225965

1,087675

0.942055

0,805131

0,684478

0,80

1,179610

1,3467 88

1,461329

1,485 5 7 2

1,410+25

1,262782

1,084798

0,910092

0,755983

0,627430

0,85

1,225969

1,449658

1,606660

1.63011 1

1.508395

1,297165

1,066868

0,860446

0,691798

0,559508

0,90

1.294427

1,612462

1,842025

1,8495 36

1.629844

1,313164

1,015674

0,779605

0,603895

0.475236

0,95

1,419421

1,945044

2,331852

2,228849

1,743429

1,244393

0,878172

0.633330

0.470747

0,360398

1,00



И й"(<й, х) ДЛЯ случая изотропного рассеяния в днапазО]ае изменения р от О до 1,0 (с шагом 0,05) для нескольких разл]ачных значений ш.

10.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ

В данном разделе будет проиллюстрировано использование свойству ортогональности собственных функшгн и различных интегралов нормировки для определения коэффициентов разложения достаточно гладкой функции по собственным функциям. Отдельно будут рассмотрены случаи разложения в пол[[ом и в половинном диапазонах.

а) Разложение в полном диапазоне. Рассмотрим функцию f(p), определенную в полном диапазоне р, и представленную в виде разложения по собственным функциям [см. (10.21а)]:

f{\i)A (iio) Ф (Пъ 1) + Л (- Ло) Ф (- По, v) +

+ 5 Л(11)ф(11, 1)йц, tie(-l, 1), to< 1, (10.48)

Где Л(т]о), Л(-%) и Л (п) - коэффициенты разложения.

Для определения дискретного коэффициента А{\\ преобразуем обе части савенства (10.48) с помощью оператора

\ Аф (по-- 1

И воспользуемся условием ортогональности (10.23) для полного диапазона, в результате чего получим

rl . 1

\ 1ф(По. ti) f (fi) ф Л (По) Цф2(пз. V)d\i

Л(По) = Х(Ь- 5 Ф(по, VtdM, (10.49а)

где интеграл нормировки jV(Tirj) в соответствии с (10.41) равен

ЛЫ \ VЧц,V)dirJ-~\\. со< 1. (10.496) \ 2 V По - 1 По /

Дискретный коэффициент Л (- ц) может быть определен, если преобразовать обе части (10.48) с помощью оператора

J л Ф (- rio, М) d\i и использовать условие ортогональности (10.23)

для полного д]аапазона:

(-По) = -

\ РФС-По. \i)li\i)d\x, (10.50)

где интеграл нормировки Л(по) имеет вид (10.496).

Для определения непрерывного коэффициента А{г преобразуем обе части равенства (10.48) с помощью оператора

5 1ф(п. V)d\x и воспользуемся условием ортогональности (10.23)

д.я полного диапазона, после чего получим

1 1 г 11

5 т (п. f (t*) fpi = 5 1ф (п- ) 5 (п) Ф (П, \i) dy]

dix. (10.5la)

Порядок интегрирования в правой части (10.51а) существен, поскольку непрерывная собственная функция ф [1, fi) jjMeeT особенность. Однако с помощью формулы Пуанкаре - Бертрана было показано [2], что порядок интегрирования может быть изменен; в этом случае (10.51а) прншгмает вид

dц. (10.516)

1 - 1

5 РФ (п. t) f{ix)dix= [а (ti) 5 цф (т1, 1х) ф (п, d

-I -l --\

Воспользовавшись (10.42), получим

\ ]x)t{]x)d]x 5 A{yx)N{x\)b{y\~r{)dy\, (10.51b)

-I -I

Выполняя интегрирование в правой части и переставляя i] и i] в конечном выражении, получаем непрерывный коэффициент Л(г)) в виде

где Л(г) определяется выражениями (10.43) Я(п) = 1 - «п Arcth 1].

(10.52а)

(10.526) (10.52в)



Разложение в половинном диапазоне. Рассмотрим функцию f(p), определеи]аую в положительной половине диапазона изменения i и представленную в виде разложения по собствен иым функциям [см. (10.22а)]:

/(р) = Л(пз)ф(п> р)Н- 5 А{ц){ц, \1)йц, це(0, 1), (О < 1, (10.53)

где Л(т1о) п Л(г) - иеизвестиые коэффициенты разложения.

Для определения дискретного коэффициента Л(го) преобразуем обе части равенства (10.53) с помощью оператора

1Г(р)ф(т1:1, \i)d\i и воспользуемся условием ортогональности о

(10.27) для половины диапазона, после чего получим

Ы = У5 Ыф(пъ \i)Hv-)d\i, (10.54а)

где интеграл нормировки равен [см. (10.45)]

(по) - 5 (Ц) Ф (лз. i) rfi = - X Ы. (10.546)

Для определения иепрерывиого коэффициента Л{ц) преобразуем обе части равенства (10.53) с помощью оператора 1

J 1Г(р)ф(т1, р) rfp, используя условие ортогональности (10.27)

для половицы диапазона, после чего получим

I 1 г I

\ 1Г (р) ф {ц, р) f{ix)d=\w (ц) ф (п, р) 5 (п) Ф (Л. \i) d

dix. (10.55а]

Как показано в работе [6], порядок интегрирования в правой части этого равенства можно изменить, после этого (10.55а) можно переписать в виде

5 IF (ц) ф (п. р) / (р) rfp = 5 Л (п) 5 (р) Ф (п. \i) Ф (п, 0 Р

о о "-о

(10.556)

Используя выражение (10.46), получаем 1 1

5IF(p)Ф(ni)f(Orfp-=5 Л(п)1Г(п) 6(n-n)rfn. (10.55в)

Выполнив иитегр]фован]ае в правой часги и поменяв местами т] и г в окончательном выражении, получаем

Л(л) =

Ш \ ()f ( )f(l)t-

(10.56а) (10.566)

где W(ti), N (ц) и g {<!), ц) были определены выше,

в) Случай вырождения. Дискретные собственные функции вырождаются при {о=1. Рассмотрим произвольную функцию f (р), определенную в половине диапазона измеиения ц (ОцЛ); ее можно представить в виде

f (р) = Л + 5 Л (п) Ф(П> \i) dT), II е (О, I). (10.57)

Дискретный коэффициеит Л определяется, если преобразовать

обе части равенства (10.57) с помощью оператора \y{\i)d\i,

учитывая при этом, что d\i - \ и у (l*) Ф (л> ц) = О

[см. (10.37) и (10.87)]. Получаем

A=\y{li)f{ix)dix.

(10.58)

Для определения непрерывного коэффициента А{ц) преобра-

зуем обе части (10.57) с помощью оператора {}1)ц>{т], ix)d,

после чего получим

1 1 г 1

J Y (Р) Ф (1. И) / (р) dixy{\i)( (п, р) 5 (п) Ф (л- 1) dT\

d\i. (10.59а)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101