Главная  Журналы 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

В ЭТОМ случае уравиеиия (10.30а) и (10.306) упрощаются и принимают вид

Я(г)=1 +--гЯ(г)5

H{z)

(I0.32a) (10.326)

Для чисто рассеивающей среды I. Уравнеиня (10.32) могут быть использованы для численного определения функции H{z).

Для дальнейшего изучения свойств функции Н {г) читателю следует обратиться к книгам Чандрасекара [19] и Курганова [20].

ФУНКЦИЯ КЕЙСА X{z)

Кейс дал определение функции X{z) как аналитической, существующей в комплексной плоскости с разрезом от О до 1 и ведущей себя на бесконечности как - т. е.

lim zX{z) - 1.

г->оо

Существует несколько математических определений функции Х{г). Одно из них имеет вид

(10.33)

Подставляя сюда из (10.296), получаем

2(1-0)) \

d\i, (й< I; (10.34а)

этим выражением можно воспользоваться для численного определения функции Х(г).

При больших значениях г, когда функция X{z) ведет себя как -1/г, (10.34а) принимает вид

прн 0) = 1 можно воспользоваться предельным соотношением

lim 112(1 - 0)) = ,

Получаем

W = IS t (10.34b)

X{z) и X{-z) связаны соотношением

(10.35а)

A{z)==\~ 5 -l-dii = l(uzATcth. (10.356) Произведение X{z)X{~z) при ztiq равно Х{щ)Х{-г],) = ~ lim

~*"Ло равно

дА (г)

A(z) 1

1 - м г-»11о По - 2 1 - м

Л(По)

~2По

так как

(0(1-0)) 1

ал (2)

(10,35b) (10.35г) (10.35д)

Величина X (0) получается нз (10.35а) при подстановке г = 0

при (О < 1, (10.36а)

, -(0)-=

По(1 -W) Пол/! -<»

При (0=1 (10.36а) упрощается

Х2(0) = 3, Х{0) = л/3.

(10.366)

Умножив обе стороны (10.33) на z и переходя к пределу при г->-оо, получаем соотношение

= 5 у(*)Ф,

(10,37)

справедливое при 0<(й<1.



СВЯЗЬ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ Я(2) и X(z)

функции Н {z) и Х{г) связаны между собой. Для изотропного рассеяния связь между Я (z) и X{z) имеет вид [5]

() = irTwW-

при (О < 1 подстановка Х{Щ из (10.36а) в (10.38а) приводит к выражению

(й< 1. (10 386)

\\-<)1{щ2)Х{- г)

В случае когда (0=1, По-оо и Л(0) = -\/3, в силу чего выражение (10.38а) упрощается и принимает вид

При 2 = По ИЗ (10 386) следует

. (й<1.

2tio (l-a))VX(- По)

Подставляя Л(-rio) из (10.35в) в (10.38г), получаем

(10.38в)

;10.38г)

Я(по) = -

a)(l-a))So

где Л(По) определяется формулой (10.35г),

10.4, ИНТЕГРАЛЫ НОРМИРОВКИ

Коэффициенты разложения произвольной функции но соб-ствеппым функциям могут быть определены с помощью свойства ортогональности собственных функций и различных интегралов нормировки В данном разделе рассмотрены интегралы нормировки для дискретных и непрерывных собственных функций и изотропного рассеяния Отдельно будут рассмотрены случаи из менепия х в полном диапазоне (-1 р 1) ив половинном диапазоне (О р 1).

а) Интегралы нормировки для полного диапазона. Рассмотрим иитеграл нормировки дня дискретных собственных функции в полном диапазоне р, вида

J Р(р2± %, \i)d]i± N (По)--1

(10 39)

где дискретные собственные функции были определены выше [см- выражение (10 10)] как

10 40)

Интеграл в (1039) равен)

Интеграл нормировки Л(п) в полном диапазоне р, для непрерывной собственной функции имеет вид

\ 1Ф(П, Р)Ф(П. f)tfp=A(n)6(n-V). (10.42) -1

Кейс получил для N {т\) следующую зависимость [1]):

Л(П) = п[?-(п) + (У]. (10 43а)

Я (п) = 1 - (011 Arcth т\.

(10.436) (10 43в)

В затабулированпом виде функция g"((o, т]) приведена в работе [22]

Уместно отметить, что опредетение интеграла нормировки с помощью (10 42) есть просто математическая запись утверждения, что если выразить f() через ф(11, р) как

f(p)= \ Л(11)ф(11, p)tfii, (10 44а)

то в этом случае неизвестный коэффициент A(ri) будет определяться выражением

(П) = -Щ 5 ИФ(П. ti)f(p)tffi. (10.446)

б) Интегралы нормировки для половиииого диапазона. В работе [6] потучепы интегралы нормировки для половинного диапазона изменения р как для дискретных, так и для непрерывных собственных функции Интеграл нормировки Л(т]о) для дискретных собственных функций в положительной половине диапазона



изменения \i (т. е. О jx I) имеет вид

(10.45а)

(10.456)

Приведенный выше результат может быть доказан непосредственной подстановкой явных выражений для W{ii) и <{г\о, (л):

W{ii)=-,-li)y{li) и ф(,, ,) = - L

с использованием определения функции X{z), данного в (10 33).

Интеграл нормировки для непрерывной собственной функции в положительной половине диапазона измепеиня \i имеет вид i

о<л. л<1, »< I,

(10.46а)

где члены в правой части выражения определяются следующим образом [6]):

{ц) = {цо~ц)у{ц), (10.466)

= + (10.46B)

Х{ц)=1- (011 Arcth Г], (10.46г)

а функция у(п) определяется из (10.29а) илн (10.296).

При м = 1 т1о оо. В этом случае, разделив обе части (10.46а) на Tjo и переходя к пределу при tio-->oo, получаем 1

У(11)ф(л. 1)ф(л. i) (i = Y (л)й (л - V

0<л, л<Ь «===1,

[(ч) + (ЗД =

(10.47а) (10.476) (10,47в)

Я (т)) = 1 - т) Arcth т), а у(л) определяется выражениями (10.29в) нлн (10.29г),

ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Я(Ц), XИ g (а, \i)

Функции Н{ц), Х(-ц) и g{(u, ц) для изотропного рассеяния были затабулированы соответственно в работах [2, 19, 22]; таблицы этих функций даны также в работах [23, 24] В табл 10 2- 10.4, взятых из [23], приведены значения функций Н{ц), X{-\i)

0 -, r*! tJ- 00 0\ C>, - - r* Tj- i/T 4D r~ 00

00 00 Tt - О О

Г- ю Tj- (N fN


(Г1(--ЧОО000"Г-1йОГ~00\ Ovr-lrOfNOO.t-QOmOOr-lCTN

......Tj-rlOoooorOTj-Vur-OvQ

Tj- - г*! - чОооООО - lOOOOvOvr-QunO

ГЧГ-1г1г.тД-14ПО\С>0\С>Г~Г-Г-00 00 б0

iOOOOOr-OOTj-0-MOvOOOOvOO£lrn(N --О-г1Г-00г1О\0000тД-тД-\0Г-1О\т+г1.. OvOOOVDrl/lOOOr-IOOON OOj - 00 "О r-l

--ООчОООчООГ-! - 00f\C>00CC00O(N00f00 ooroor-lMDOmvOOO-ror-Ov - гипчооОО

. r*! - , . «С--1О00 - rlOOO

О ю -

Ч-1 - 00 r-i

(--О\Г1Ог100О

......OvOiO - - 0014П"-0

- VDmVD-d-OOOOOfN-r-rOrO

(-r. - r-.oooor-ooooovr-ioooorir-jr-r 1Л - OiovDunroor-liorooovoor-Tr-. .-

iOOvr-lTj-\0000 - г-*Л\0Г000\О - r-INr

.- -rlOOvNr-\0D - \0i4nov\0t~-0


un - OOOOOrOOOOO г100тД---чОг100\00\ - \0 ov 00 "D Г-1

Tt О \o \o -

-t>Ov--r-lTl-i4n\C>r--OOOvO-- - Nrlrl*, Tfio 5 О - „ Г-1 <4 <4 4

OmOO - r-IOvr-OvOv(NOr- - QOOr-l - MD -

8\OOOOOOVOV-->0 - 0\00(~-гОГЧ14ПО"-0\00 - rOvr-iOOOO - un- Г-00О00Г-1гГ-1-I" Oтi0--o(--t(--0NOl4nOQOOг10

grlior-OOOvO - r-lrlrl О О О О - -

Tj- lO "О \0 4D 4D

00 00

lounur-ovio - Or-lOv - unO - rr-iOt- OOTl-Or4-Ti-ov\000--(~-"0Tr~Or-OfN\C>fiO OOOOun - r-lrlO - 00£>rlOOOvOv\00(--00 .,j-Ov - - О\>ОГ-100гГ - "00 - Tj-r-Or-lTtVD r-lrO >c\or~ooooovovOOO - ----Г-1Г-1гЧГЧ о о о о о о о о о о - - -1 -1 -

r100rl(--i04DiOOv(~-r-OOOr~r~. i4l HTi--i<ioovOviO\C>(--r(--rN\OOOOv

0>Оо\о\о\г-10тГтГ - ooovoov--

\0"0(NOOr100NinOO - rliorOv - rlTi-

oooooooooopo

о о о о

О \0 Г- 00 Г> Г- Г-ООО

о OV 00 М

§о г- Tj- Tt

00 00 >0

g. fvj Ч-1 00

О О О О,

0vOOO00(N\C>0vrl\0(~- -

SOr-m\C>OvOOOvOO\OrlODNOO гтГГООО - - Nm.t0"0\04D

оооооооооооооо,о.р

"ООюОООООООООООООООюО

оо - rrrlrlTi-IOI0 4D.\C>(~-r--OOOOOjOV 0

о о" о сГ О О о о о о о" о о" о о о о о о о





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101