|
| |
|
Главная Журналы ГЛАВА 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ КЕЙСА Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), предложенный Кейсом [1] в I960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разложения, фигурирующие в решении однородного уравнения, определяются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным условиям задачи; при этом используются свойство ортогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функцпям, В настоящей главе приведено упрощенное изложение метода Кейса применительно к решению одномерного уравнения переноса излучения в плоском слое серой изотропно рассеивающей среды. Приведены собственные функции однородного уравнения, рассмотрены свойства ортогональности собственных функций и приведены различные интегралы нормировки; описан способ представления произвольных функций через собственные функции. Подробное изложение теории метода и его приложений, а также обзор литературы даны в работе [2], Более поздние работы, посвященные методу Кейса, рассмотрены в [3]. В работах [4, 5] этот метод был распространен на случай анизотропно рассеивающих сред. Несколько полезных соотношений ортогональности для собственных функций приведены в [6-8. Мы не собираемся приводить многочисленные ссылки на применение метода Кэйса в теории переноса нейтронов, но упомянем несколько работ в области переноса излучения. В работах [9-12] этот метод был использован для решения задач теплообмена излучением в плоском слое серой среды. В [13, 14] метод Кэйса был использован для нахождения решения системы Л/ интегральных уравнении, получающихся прн рассмотрении задачи о теплообмене излучением в несерой среде с использованием модели «частокола». Аналогичная задача рассматривалась в работах [15-17]. Ниже мы рассмотрим лишь решение одномерного уравнения Переноса излучения в плоскрм слое серой среды с изотропным рассеянием с целью ознакомления с этим новым мощным методом в теории теплообмена Приложение этого метода к анизотропным и селективно излучающим средам, к многомерным задачам или к задачам в непрямоугольных координатах приводит к большим усложнениям и здесь не рассматривается. Читахе.тю, интересующемуся этими вопросами, следует обратиться к оригинальным работам в данной области Прекрасный обзор выполненных этим методом работ в области теории переноса нейтронов, опубликованных до 1972 г., содержится в работе [18]. 10.1. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ ИЗОТРОПНОМ РАССЕЯНИИ Рассмотрим одномерное уравнение переноса излучения в плоском слое изотропно рассеивающей серой среды II + / (т, [1) = (1~а))-~-\~-2 у (т, \i)dix\ (10.11 где /(т, ft)- интенсивность излучения, ы - альбедо однократ-1 ного рассеяния, п - показатель преломления, Г(т) - температура, т - оптическая толщина, а jj, - косинус угла между направлением переноса излучения и положительной осью т. Полное решение этого уравнения можно представить в виде /(т, i) = t(t, + ii), (10.2) где /р(т, i) -частное решение уравнения (10 1) (т. е. решение, удовлетворяющее неоднородному уравнению (10 1), ио не обязательно удовлетворяющее его граничным условиям), способ получения которого зависит от типа свободного члена. В конце главы будут рассмотрены способы получения частного решения уравнения (10 1) для различных типов свободных членов, однако сейчас примем, что 1р(т, ii) является известной функцией Функция ф(т, р:) является решением однородной части уравнения (10.1), т е \{:,}x) удовлетворяет следующему уравиеиню: f. + 4(T, = f i*(T, ;io.3) После определения собственных функций и собственных значений этого однородного уравнения полное решение для i)(t, [i) у находится как суперпозиция всех возможных решений. Коэффициенты разложения, фнгурнруюидне в решении однородного уравнения, могут быть определены нз требования, чтобы полное решение (10.2) удовлетворяло граничным условиям задачи. Таким образом, первый шаг состоит в определении собственных функций и собственных значений однородного уравнения (10.3). Остановимся теперь на методе определения этих собственных функций и собственных значений, разработанном Кэйсом [1]. Функция ф(т, р) может быть представлена в внде i1)(t, ц) = е-/(11, р), (10.4) где ф(11, р) - собственная функция, а т] - собственное значение для однородного уравнения. Подстановка выражения (10.4) в интегральное уравнение (Ю.З) дает (i --)ф(л, = \ Ф(л. W)d\ (Ю.б) Отметим, что в силу однородности уравнения (10.5) собственная функция ф(т], р) определяется с точностью до постоянного множителя. Эта неопределенность может быть устранена нормировкой (р(Г1, р) (10.6) при условии, что этот интеграл не равен иулю. Было доказано [2], что интеграл (10.6) не равен нулю, в силу чего приведенная нормировка справедлива. Используя это условие нормировки, получаем из (10.5) (10.7) Здесь принято, что величина ш лежит в диапазоне от О до 1, который покрывает все случаи, представляющие интерес в теплообмене излучением), р принимает значения от -1 до 1. Чтобы решить уравнение (10.7) относительно ф(П, р), рассмотрим отдельно следующие два случая: а) с\ лежит вне интервала (-1, 1) и б) Т1 лежит между -1 и 1. Причина такого разделения состоит в том, что последний случай содержит особенность прн 1 =zz р, в силу чего его решение требует особого подхода. а) Tj лежит вие интервала ( - 1, t). Для того случая, когда Г] лежит вне интервала (-1, 1) будем использовать обозначение т] = -гю- Решение уравнения (10.7) Лат дискретные собствен- ные функции ф(т]о, р) однородного уравнения (10.3) в виде (10.8) Получим теперь дисперсионное соотношение, с помощью которого можно определить дискретные собственные значения Цо. Интегрируя (10) по ц в пределах от -I до 1 и используя ус ловие нормировки (10.6), получаем (10.9а) Выполняя интегрирование, получаем соотношение 1 Ю11о Л(г1о)1- 1 4-(1Ы L1 - (1/%) J = 0, которое можно переписать в внде A(no)l-o)Ti„Arcth(:;J)-0, (10.96) (10.9в) так как 2АгсШ:с-1п(±)- при \х\<\. (10.9) представляет собой искомое дисперсионное соотношение для определе1[пя дискретных собственных значений Г]о. Кейс [1, 2] показал, что при заданном значении щ, когда 0iri<Cl, этому уравнению удовлетворяет пара действительных, равных, противоположных по знаку корней dro- В этом случае соответствующие дискретные собственные функции fp(dzT]o, р) равны ф(±т1о. М) = -:;, <Фи (10.10) а два дискретных решения однородного уравнения (10.3) принимают вид ф,(т, р) = е-/Хт1), р), (10.11а) ФПт, И)=е/°Ф(-По. fl. {\Q.\\6) Прн со = 1 дискретные собственные значения ±цо Становятся равными бесконечности, а обе дискретные собственные функции ф(±то, ti) вырождаются в одиу lim ф(±т1о, Р)= lir" 410-*°° По-» 00 2 т1о + [А 2 (10.12) В работах [2 и 3] было показано, что два дискретных решения уравнения (10.3) при со - 1 имеют вид (т, \i) = J, 0)= 1, Ф2(т, 11) = t(t - !Л), 0)= 1. (10.13а) (10.136) Для заданного со дискретные собственные значения щ определяются из дисперсионного соотношения (10.9). В случаях когда со-С 1 н co--l, нз (10.9) можно получить простые выражения в явном виде для приближенной оценки tjo. Когда со стремится к нулю, т]о стремится к единице, поэтому для малых со уравнение (10.96) можно упростить 1 -41п 2 Ll-(l/iio)J = 0, со<1, откуда = 1 - ге-г/*, со < 1. (10.14а) (10Л46) (10.14в) Выражение (10.14в) представляет собой искомое соотношение для приближенного определения т]о при малых со. При со, стремящемся к 1, т]о становится велико, а 1/т]о -мало. Поэтому, раскладывая Arcth (1/т]о) в ряд по степеням 1/т]о и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, уравнение (10.9в) можно упростить и получить Принимая, что в члене, содержащем l/ri, <u=I, получаем выражение - = V3(l -со), со-> 1, (10.156) которое позволяет определить т]о при значениях со, близких к единице. Выражение (10.156) можно переписать в другом виде Птт1(1-со)=-1-- (10.15в) В табл. I0.I приведены дискретные собственные значения -по при О < со < 1. Таблица ЮЛ Дискретные собственные значений для случая изотропного рассеяния
б) ц лежит в интервале ( - 1, I). Когда ц лежит в интервале (-1, 1), уравнение (10.7) имеет особенность при т] = х; в этом случае в самом общем виде решение уравиеиия (10.7) имеет вид [1, 2] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |