|
| |
|
Главная Журналы приближения. Этим авторам удалось при решении задачи Милна в теории переноса нейтронов добиться лучших результатов, чем те, что были полечены с помощью условий Маршака. В работе [36] сопоставляются граничные условия Федериги и Маршака п-тем решения задачи о критической длине в теории переноса нейтронов и делается вывод, что получить точные значения с помощью условий Маршака трудно из-за медленной сходимости для Рл-приближеннй высокого пор-ядка, в то время как условия Федериги обеспечивали сходимость к точным значениям для Рл-приближений сравнительно низкого порядка. 9.8. МЕТОД МОМЕНТОВ Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чандрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют нол>чить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны. Ниже будет рассмотрен метод моме!1тов низшего порядка и проведено его сравнение с Pi-приближением, для того чтобы показать эквивалентность получаемых результатов. Рассмотрим уравнение переноса излучения а виде dl (s, R) где 5 - длина пути, измеряемая вдоль направления распространения излучения Q. Производная по направлению d/ds в прямоугольной системе координат связана с частными производными по X, у и Z соотношением d , д , д , д ds дх ду дг (9.140) где I, т и п - направляющие косинусы вектора Q, равные ; = sin 0 cos ф, m = sin 0 sin ф и п = cos 0. (9.141) Здесь 9 - полярный угол, отсчитываемый от положительного направления оси 2, а ф - азимутальный угол. Подставив (9.140) и (9.141) в (9.139), получаем 0 + r + li-)+P = ><n)+ \jdu, (9.142) где 1 = 1 [х, у, z; I, т, п). Р дх Р ду • 1 dio р дг • (9.1456) (9.145в) Эти соотношения позволяют связать коэффициенты а, b н с с функцией /о. Подстановка формул (9.145) в (9.143) дает следующее выражение для интенсивности излучения 1{х, у, г; I, т, п) в зависимости от функции /о(х, у, z)\ / [х, у, z\ I, т, п) = Таким образом, если функция 1о{х, у, z) известна, то нз (9.146) можно получить распределение и[1тенсивности излучения. Подставляя (9.145) в (9.144), получаем следующее дифференциальное уравнение в частных производных отпоснтельно h{x, у, г): jV4o{x, у, 2) = Зи[/о(х, у, z)-hiT)l (9.147) где V-h--f Представим интенсивность излучения в виде / {X, у, z\ I, т, п) = /о (.V, у, г) + а [х, у, z)l-\- + b[х, у, z)m-\-c(X, у, z)n (9.143а) или, в более краткой записи / = /о + 4- Ы + СП, (9.1436) где /о, й, Ь, с - искомые функции одних лишь координат. Подставив (9.143) в (9.142) и проинтегрировав полученное выражение по всем телесным углам (т. е. в пределах Й=4л;), получаем ) Подставим (9.1436) в (9.142) и умножим полученное выражение последовательно па /, т и п, а затем для каждого нз этих трех случаев произведем интегрирование по телесному углу 4ji. В результате получаем (9.145а) Глава 9 Пространственную плотность падающего излучения G можно связать с функцией 1о{х, у, z), так как она равна интегралу от / по полному телесному углу, т. е. 2л л G=ldQ= J \ {(о+al-\-bfn-\-СП) sin QdQd(4nI 0,(9 Л 48 а) 4л * (9.1486) Подстановка (9.1486) в (9.147) дает jV{x, у, 2)==S%[G{x, у, z)-4nIb{T)]. (9.149) Для одномерного плоского слоя уравнение (9.149) упрощается: (9.150а) - = Зх[0(г)-4л/,(Г)], = 3(1~о))[0-4л/,(П1, dx = Qdz и 1-<й = -. (9.1506) Отметим, что (9.1506) совпадает с уравнением (9.120), полученным с помощью Pi-приближения. В задачах о взаимодействии излучения с теплопроводностью и конвекцией уравнепие энергии включает член, характеризующий дивергенцию плотности потока излучения вида Vq который может быть связан с Iq или G следующим образом: Q = il 1т-\- кп, / = /о + а/ + йт -f сп. Подстановка (9.152) в (9.151) дает 4л / да 3 Удх ду +~J- (9.151) (9.152а) (9.1526) (9.153) Используя (9.145) и принимая 6 постоянным, перепишем (9.153) в виде Приближенные методы решения уравнения переноса излучения 375 или, с учетом (9.1486), (9.155) Заметим, что в одномерном случае уравнение (9.155) сводится к уравнению (9.1196), полученному с помощью Pi-приближения. Метод моментов был использован в работах [37-39] при решении задач теплообмена излучением. ПРИ.МЕЧАНИЯ 1) Здесь мы рассматривали перенос энергии только за счет излучения. В случае если перенос энергии осуществлялся бы одновременно излучением и теплопроводностью, температура была бы непрерывной у стенки при любом, значений оптической толщины то в силу требований, накладываемых граничным условием для теплопроводности. 2) В гл. 8 представлено разложение и) в виде [см. (8.426)] Р (IX, 1Х) = f" " o = i- Сравнивая это разложение с (9.99), получаем a„ = (2rt+ 3) После подстановки (9.1436) в (9.142) интеграл в правой части последнего уравнения можно записать в виде 2л я /rffi= (/о + а?-f 6т-f ся) sin е de (ф = 4я/о. (1) Для получения этого результата необходимо воспользоваться выражениями (9.i4i) для I, т и п и учесть, что интегралы от sin ф, cos ф в пределах от О до 2л и от sin 9, cos б в пределах от О до Jt обращаются в нуль. Тогда (9.142) принимает вид V дх дх ду ду ду " ду дх dh . да , дЬ , дс = yiIb{T)+ol,. (2) После интегрирования уравнения (2) по всем телесным углам члены, содержащие 1т, In. тп, 1. т и п, пропадают, а интегрирование членов с Я т и п дает множитель 4л/3. В результате это урав[[ение принимает вид да . дЬ . дс 4 f. е. сорпадает с уравнением (9.144). Г лава 9 ЛИТЕРАТУРА 1. Viskanta R., Radiation Transier and Interaction ol Conveclion with Radiation Heat Transfer, in «Advances in lieat Transfer*, T. F, Irvine. Hartnett J. P. (eds.). Vol. 3, Academic Press, New Yorli, 1966, pp. 175-251. 2. Чандрасекар С, Перенос лучистой энергии, ИЛ, \. 1953. 3. Kourganoff v., Basic .Methods in Transfer Problems, Dover Publications, New York, 1963. 4. Wolley R, V. d. R., Stibbs D, W. N., The Outer Layers of a Star, Oxford University Press, London. 1953. 5. Спэрроу Э. M., Cecc P. Д., Теплообмен излучением, изд-во «Энергия» Л., 1971. 6. Rosseland S., Theoretical Astrophysics, Oxford University Press, London, 1936. 7. Дейслер P. Г., Аппроксимация теплоизлучения в газах рассеянием со скачкообразными граничными условиями. Труды амер. о-ва инж.-мех., сер С, Теплопередача, № 2. 131 (1964). 8. Шорин С. Н., Лучистый теплообмен в поглощающей среде, Изв., АН СССР, ОТ И, № 3, 3S9-406 (1951). 9. Usiskin С. М., Sparrow Е. М, Thermal Radiation Between Parallel Plates Separated by an Absorbing-Emitting Nonisotliermal Gas, Int. J. Heat Mass Transfer, \, 28-36 (I960}. 10. Heaslet . A., Warming R F. Radiative Transfer and Wall Temperature Slip in an Absorbing Planar .Medium, Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 979- 994 (1965). 11. Hotiel H. C, Radiation as a Diffusion Process, Int. J. Heat Mass Transfer, 5, 82-83 (Ш62), 12. Перлмуттер Лт, Хауэлл Дж. P., Метод Монте-Карло в задаче о лучистой теплопередаче в сером газе между двумя концентрическими цилиндрами, Труды амер. о-ва инж.-мех, сер. С, Теплопередача. № 2. 46 (1964). 13. Eddinglon А. S., The Internal Constitution of Stars, Cambridge University Press, London. 1926; также Do\er Publications, New York, i960. 14. Pomraning G. C, An Extension of the Eddington Approximation, /. Quant. Spectry Radiative Transfer, 9, 407-422 (1969). 15. Goody R. M., The Influence of Radiative Transfer on Cellular Convection /. Fluid Mech , 1, 424-435 (1956). 16. Висканта P, Грош P. Д, Перенос тепла тепл9проводностью и излучением в поглощающей среде. Труды амер. о-ва инж.-мех, сер. С, Теплопередача № 1, 79 (1962). 17. Schuster А., Radiation Through а Foggy Atmosphere, Asirophys. J. 21, I- 22 (1905). 18. Scliwarzchild Uber das Gleichgewicht der Sonneatmosphere Akad. Wiss. Goltingen, Math.-Phys. Kl Nachr., 1, 41-53 (1906). 19. Соболев Б. В,, Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, Гостехиздат, М., 1956. 20. Larkin В, К.. Churchill S. W., Heat Transfer by Radiation tiirough Porous Insulations, AlChE J., 5, 467-474 (1959). 21. Chen J. C., Simultaneous Radiative and Conductive Heat Transfer in an Absorbing, Emitting and Scattering Medium in Slug Flow, AIChE J., 10, 253-259 (1964). 22. Krook .M , On the Solution oS Equation oi Transfer, I, Astrophys J. 122, 488-497 (1955). 23. Lick W., Energy Transfer by Radiation and Conduction, Proceedings of the Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute, Stanford University Press, Palo Alto. Calif., 1963, pp. 14-26. 24. Vincenti W. G., Baldwin B, S., Jr., Effects of Thermal Radiation on the Propagation of Plane Acoustic Waves. /. Fluid Mech., 12, 449-477 (1962). Приближенные методы решения уравнений переноса излучения 25. .Murty S. S., Approximations on Angular Distribution of Thermal Radiation, Int. J. Heat Mass Transfer. 8, 1203-1208 (1965). 26. Jeans J, H.. The liquations o\ Radiative Transfer of Energy. Monthly Notices Roy. Abfron. Soc, 78, 28-36 (1917), 27. Дэвисон Б,, Теория переноса нейтронов, Атомиздат, М,, 1961. 28. Murray R. L, Nuclear Reactor P lysics. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1957. 29. Улгтекер Э, Т., Ватсон Д. Н, Курс современного анализа, Фиэматгнэ 1963. 30. Mark J. С, The Spherical Harmonics Method, Pts I, И, National Research Council of Canada, Atomic Energy Repts № MT 92, 1944, MT 97, 1945. 31. .Marshak R E., Note on the Spherical Harmonics .Method as Applied to the Milne Problem lor a Sphere, Phys. Rev., 71, 443-446 (1947). 32. Pellaiid В., Numerical Comparison of Different Types of Vacuum Boundary Conditions for the Pjv-Approximation, Trans. Am. Nucl. Soc. 9, 434- 435 (1966). 33. Schmidt E., Gelbard E. Д Vtouhl P,v-.Mefhod for Spheres and Cylinders Trans. Am. Nucl. Soc, 9. 432-433 (1966), 34. Federighi F. D,, Vacuum Boundary Conditions for Spherical Harmonics Methods, Nucleonics 6, 277-285 Ц964). 35. Pomraning G. C, An Improved Three-Surface Boundary Condition for the P-3 Approximation, Nucl. Sci. Eng., 18, 528-530 (1964). 36. Canosa J., A Comparison of Federighis with Aliirsnaks Boundary Conditions, Nucl. Sci. Eng.. 43, 349-350 (1971), 37. Edwards R. H., Bobco R. P., Radiant Heat Transfer from Isothermal Dispersions with Isotropic Scattering, ASME paper № 67-HT-8, 1967. 38. Bobco R. P., Direclional Emissivities from a Two-Dimensional, Absorbing-Scattering Medium, the Semi-Infinite Slab, AS.ME Paper № 67-HT-12, 1967. 39. Meiir П., Исследование плоского излучающего газа с помощью метода моментов. Ракетная техника и космонавтика, № 9, 182 (1964). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [ 61 ] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |