|
| |
|
Главная Журналы стемы однородных уравнений в виде M-=Sr. m = 0, 1, 2, (9.108) где gm - произвольные постоянные, а k - искомые показатели экспоненты. Подстановка (9.108) в систему однородных уравнений, полученную из (9.107) [нли (9.106)], дает следующую систему из jv + 1 однородного алгебраического уравнения относительно коэффициентов gm. k [{т + 1) + m-J + (2ш + 1) (1 - cof,), - 0. (9.109а) где ш = 0, 1, 2, Л, fo=l и +i=0. В Случае изотропного рассеяния полагаем 1 при ш-о, о при т ф 0. Тогда (9.109а) упрощается и принимает вид [{tn + 1) grri + m-,] + (2ш + 1) (1 ~ собо) g = 0. (9.1096) Чтобы система однородных алгебраических уравнений (9.109) имела нетривиальное решение, определитель, составленный из коэффициентов уравнений, должен равняться нулю. Б случае изотропного рассеяния это условие дает 1 - 0) ft О О О k 3 2ft О О О 2ft 5 3ft О О О 3ft 7 4ft (iV-2)ft (2ЛА-3) iN~l)k О О iN-\)k {2N~ 1) Nk 0 0 Nk 0. (9.110) Из решения уравнения (9.110) получаем допустимые значения для каждого значения со. Затем для каждого из уравнения (9.1096) определяется совокупность значений gm{ki) (ш ~ О, 1,2, /У), после чего решение полученной из (9 107) системы однородных уравнений для изотропного рассеяния можно записать в виде y{)=ZA,Sr.i!i)e\ m = 0, 1, yV. (9.111) Полное решение равно Fm(т)-ri(т)+Ч (9.112) (9.113) где Ai - коэффициенты разложения, а вспомогательные функции Hn{ki) определяются выражением я„ (k) = (-1)" {р„ (i) - т [Qo (т) - (т)]} • (9-1 4) Здесь Рп и Qn - полиномы Лежандра и функции Лежандра второго рода соответственно. Таблицы допустимых значений и соответствующих значений Нп{кг) (/г = О, 1, N) для различных значений а> и N приведены в работе [27]. Pi-ПРИБЛИЖЕНИЕ Б качестве частного случая ниже будет рассмотрено Pi-при-ближение для изотропного рассеяния. Это приближение получается нз (9.107), если принять N=\, 1т = 6от и пренебречь членом Ч2(т)/т, т. е. Щ (т) + (1 -со)%(т) = 4л(1 Го (t) + 3W,(t) = 0. (9.И5а) (9.1156) Физический смысл функций Чо(С) и (т) становится ясным, если вернуться к разложению интенсивности в ряд, как это было сделано в (9.100), /(. 1) = ё 2т-Ы (9.116) Используя свойство ортогональности полиномов Лежандра в соответствии с выражением (9.102), можно показать с помощью (9.116), что функция Чт(т) связана с интенсивностью соотношением (9.117) где частное решение Ч зависит от интенсивности излучения абсолютно черного тела 1ь[Т{т)]. Неизвестные коэффициенты Ai, входящие в (9.111), находятся из граничных условий задачи. После того как определены функции Чт(т), по формуле (9.100) находится распределение интенсивности излучения. Дэвнсои [27] рассмотрел иной способ представления решения (9.111), а именно через вспомогательные функции Hrn{ki): Тогда = пространственная плотность падающего излучения, (9.118а) I Ч,(т) = 2я 5 ti/(T. ii)diiq{T) = -1 = плотность потока результирующего излучения. (9.1186) Заменяя в (9.115) Чо(т) и F, (т) на G{t) и (/"(т) соответственно, получаем + (1 - со) G (т) = 4я (1 - со) /, (Г), (9.119а) + 3/(т) = 0, (9Л196) h{n=-;-. Из (9.119) можно получить для G(t) или д{т;) обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка: j = 3(l-co)[G(T)-4n/,(Db = (1 - СО) [З/ (т) + 4я J (9.120) (9.121) Следует отметить, что уравнение (9.121) совпадает с приближением Эддингтона [см. (9.73а)]. После нахождения из решения уравнения (9.120) функции (т), удовлетворяющей соответствующим граничным условиям, иитеисивиость излучения Цт, л) определяется из (9.116); ) = 1о(11)Чо(т) + ЗР,(1)Ч,(т)] (9.122) /(т. ii) = [G{T) + SiiqiT)] = [Gir)~ii], (9.123) так как (?(т) связана с а(т)/т уравнением (9.1196). ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТАЯ СРЕДА В случае оптически толстой среды (т. е. при тЭ- 1) левой частью уравнения (9.121) можно пренебречь, и тогда получаем выражение ?М = -Г- (9-124) совпадающее с приближением Росселанда (9.22). ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ Р-ПРИБЛИЖЕНИЯ Марк [30] и Маршак [31] предложили два различных способа приближенного представления граничных условий в методе сферических гармоник примениге.тьно к теории переноса нейтронов. Помимо этих работ, граничные условия Марка и Маршака рассматриваются в [27]. Ниже дано краткое описание этих двух типов граничных условий. Граничные условия Марка. Рассмотрим слой с оптической толщиной то и граничными условиями вида /(О, \i) = fi{) при 11 > О, I (то, i) = /2(11) при р < о, (9.125) (9.126) где f(p) - некоторая известная функция. Марк предположил, что для Лу-приближения могут использоваться эти граничные условия, записанные для определенных значений в качестве которых берутся корни уравнения Pn+ ill) = О, (9.127) где Рл-+1(р)-полином Лежандра. Тогда граничные условия (9.125) и (9.126) могут быть представлены в виде /(О, \ii) = fi{\ii), 11 > О, /(то, li)f2{\li), 1 <0, (9.128а) (9.1286) где pi - положительные корни уравнения (9.127). Необходимо отметить, что на выбор функций f(p), используемых в граиичиом условии Марка, накладываются определенные ограничения, так как интенсиаиости на границах /(О, р,) (р> > 0) и /(то, р) (р < 0) записываются в виде рядов (9.116) с конечным числом членов. Если функция f(p) имеет сильные особенности, как, например, дельта-функция, то сходимость ряда очень медленная. Если f{\x) -гладкая функция, то вопрос о сходимости не возникает. Для иллюстрации рассмотрим Ягприближеиие со следующими Граничными условиями: /(0.11) = -;-- при [г>0, (9.129а) /(То. - i) = при )i < 0. (9.1296) Эти граничные условия должны удовлетворяться при значениях являющихся положительными корнями уравнения Р{у.,) = Щ-\=., (9.130а) а именн(> ii = . (9.1306) Интенсивность/(т, ji) связана с G (т) соотношением /(т, ц) = , , dG (т (9.131) Тогда из (9.129) - (9.131) следует, что граничные условия (9.129) можно представить в виде 4jt L уз dx Jto G (т) + -- V3 dT ji;=:t„ 4jt , (9.132a) (9.1326) Граничные условия Маршака. Маршак [31] предложил другой способ приближенного представления граничных условий для Рлг-приближения. Рассмотрим граничные условия в виде / (О, \i) fi (ji) при i > О, (9.133а) /(То, ) = f2{ix) при 1< 0, (9.1336) где f (р.) - некоторая известная функция. Для использования в Р;у-при6лиженин Маршак предложил представить эти граничные условия в следующей форме; 1 1 \ / (О, li) [г" dii=\f (ji) ji dii при [г > О (9.134а) о о 0 - о 1 /(То. ix)il~ dix= J f2{iL)ii~Uix при n< 0, (9.1346) -1 -1 где /=: I, 2, 3, V? (Л+ 0- Приближенные методы решения (/равнения переноса излучения 371 В качестве иллюстрации рассмотрим граничные условия Маршака для Pi-приближения. Пусть граничные условия заданы в виде I (О, i) = е, + р,/ (О, - 1), 1 > О, /(То. ~li) = e-+ Р2/(то, 11). Д>0. Иитеисивность связана с G(t) соотношением dG (т) / (т. i) = G (т) - [I (9.135а) (9.1356) (9.136) Граничные условия (9.135) в форме Маршака с учетом (9.136) запишутся в виде 1 1 Г dG (т 4п ] 1 Г / \ I dG{x)-\ . 4-i[G(T) + liJ,,Mt = G (т) + [I - jT=0 lidii , (9.137a) fioZl г л, r г После интегрирования получаем dG (т) (9.1376) (1 p) G (0) -1 (1 + pO = 48.аГ (1 ~ P,) G (T,) +1 (1 + P,) = 4е,аГ (9.138a) (9.1386) Сравнивая точность этих двух типов граничных условий, Дэви-сон [27] пришел к выводу, что для Рд-приближсЕШЙ низкого порядка граничные условия Маршака дают лучшие результаты, в то время как для более высоких порядков Pjv-приближения более точными становятся граничные условия Марка. Однако последние численные расчеты [32 и 33] показали, что для Р-приближения любого порядка предпочтительнее использовать граничные условия Маршака. Другой тип граничных условий был получен независимо Фе-деригн [34] в общем случае Pjv-приближения для плоских, сферических и цилиндрических слоев н Помраниигом [35] для Рз- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |