|
| |
|
Главная Журналы щего излучения 1 q (т) = 2л \il (т, d\i = -1 = n(j-r)- (9.80) Градиент .плотности потока излучения dq/dx получается в результате сложения уравнений (9.79а) и (9.796) с учетом (9.80): (9.81) ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Для решения системы уравнений (9.79) нужны два граничных условия. Для иллюстрации способа получения граничных условий рассмотрим плоский слой мел<ду двумя диффузно-отра-жающими и диффузно излучающими непрозрачными границами т = 0 и т = То, поддерлишаемыми при температурах Г, и Гг и имеющими степени черноты ei и соответственно. Граничные условия для такого случая уже были приведены выше [см. (8 99)]: /+(0) = ei--2(l-e,) \ Г(0. 1)!. 1 > О» (9.82а) /- (То) - 82 + 2 (1 - е,) 5 (то, ti) Р rfli. Р < 0. (9.826) Здесь, по сравнению с выражениями (8.99), опущена зависимость От частоты и р заменено иа (1 -е). Подставляя (9.78) в правые части уравнений (9.82), получаем /(0) = е, + (1-е,)Г(0). /" (то) = ео- + (1 - 82) Г (То). (9.83а) (9.836) Преобразуя уравиеиие (9.83а) с помощью оператора d\x, а уравнение (9.836) с помощью оператора dn, получаем со- ответственно Г(0) = е, + (1"е,)/-(0), I Ы) = В2~-\-{1-~е2)Г{хо). (9.84а) (9.846) Выражения (9.84) представляют собой граничные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.79). Приблиление Шустера - шварц1инльда использовалось для решения задач теплообмена излучением в работах [20, 21]. 9.6. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЯДРА В гл. 8 были приведены формальные решения относительно плотности потока результирующего излучения и ее производной для плоского слоя. Эти выражения можно значительно упростить, если заменить входящие в них интегроэкспоненциальные функции экспонентами. В работе [22] дано общее описание процедуры приближенного представления функции Е2{х) в виде (9.85) где коэффициенты aj и bj определяются методом моментов. Рассмотрим представление Е2{х) в виде одночлена Е2{х)ае-\ (9,86) Тогда £"з(т) запишется так Е,{х)=~ \ Eix) dx==e-f\ (9.87) Лик [23] нашел коэффициенты а и 6 из условия, чтобы площади и первые моменты экспонент и иитегроэкспоненциальных функций в интервале от т = О до т = оо были равны. Он получил ЕМ~е~\ (9,88) (9.89) В работе [24] предложена следующая аппроксимация Eix): 2(т)й;0,813е--5б2т (9 9Qj Другое представление Eix) имеет вид E:t{x)e~\ (9.91) T.Oi
Фиг. 9.5. Сравнение точных и прнближен1шх значений £2 Ь)- Легко убедиться в том, что (9.91) соответствует приближению Эддингтона. Для доказательства рассмотрим выражение (8.84) для плотности потока результирующего излучения в случае поглощающей и испускающей среды; (т) = 2л [/+ (0) £3 (т) - /" (То) £3 (То - т)] + -f 2л ь 10 5 /, (т) £2 (т - х) dx - \ 1ь (тО £2 (т - т) dx -о 1 . (9.92) Подставив в (9.92) выражения (9 86) и (9.87), получаем qr (т) - 2п[Р (0) е~ - Г [х,) е"" -Т + г t Те \ 1ь (т) е- (-) dx-~\lb (/) е- dx 4- 2л;а . (9.93) Продифференцируем (9.93) дважды по т и исключим из получившегося выражения интегральные члены и иитеисивиости на граничных поверхностях с помощью исходного выражения (9.93). В результате получим = 4ла + ЬУ (т). (9.94) Приближение Эддингтона (9.73) при со = О имеет вид dq (т) dl (т) = 4л + (т). (9.95) Уравнение (9.94) совпадает с (9.95), если принять а=1 и 6 = л/3, (9.96) что соответствует коэффициентам в выражении (9.91). В работе [25] предложена двучленная экспоненциальная аппроксимация функции Е2{х) вида Eix) ~ 0,348e-bis3T 4. о,652е-2.94 (9.97) На фиг. 9.5 приведено сравнение различных аппроксимаций функции Е2{х) с ее точным значением. 9.7. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК Метод сферических гармоник дает возможность получить приближенное решение уравнения переноса излучения более высокого порядка ценой дополнительных трудоемких расчетов. Этот метод был впервые предложен Джинсом [26] в связи с проблемой переноса излучеиил в звездных атмосферах. Общее описание метода сферических гармоник применительно к переносу излучения можно найти в работе [3], а применительно к переносу нейтронов - в работах [27] и [28]. Рассмотрим уравнение переноса излучения для плоского слоя серой среды в условиях осевой симметрии: дПх + / (т. (х) = (1 - «>) /, (Л + + 1 5 Р((1> Ю/(т. Ю V. (9.98) где предполагается, что индикатриса рассеяния p([i, р,) может быть представлена в виде разложения по полиномам Лежаидра 2); Р {\, - S (2« + 1) /Л (1) Рп (Ю. fo = 1. (9.99) Предположим также, что и интенсивность излучения /(т, р) может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра: /(т. ц) = 21 2т + 1 Рт{\) "ш (Т) (9.100) Если функции ¥т(т) нзвестны, то интенсивность излучения можно найти из (9.100). Поэтому остановимся более подробно на определении функций Чт(т). Подстановка разложений (9.99) и (9.100) в уравнение (9.98) дает =(1-»)/,(г)+ {2п+ 1)/лы1гч„(т)х m=0rt==O X $ Я„(Ю«.М/, (9Л01а) а после упрощений получаем = (1 - со) /ЛЛ + » f; т±/Л(и)Ч„(т). (9.1016) При этом мы воспользовались свойством ортогональности полиномов Лежандра 1 J- О при тф п, = 2 (9.102) q-j- При т = п. Рассмотрим рекуррентную формулу для полиномов Лежаидра [29] Р () = />.-.(ц)+Д+1)/>..Ы , (9.103) Подстановка iiPmil) из (9.103) в (9.1016) дает Z [т Р.-, () + (т + 1) Р... (т) + + (2т + 1) (1 - «У Ч;. (т) Рт (Ц) - 4л (1 - со) /, (Г) aoj = О, (9.104) 1 При m = о, О при тфО. Приближенные методы решения уравнения переноса излучения 365 Ряды в уравнении (9.104) можно перегруппировать; Ут+1(Т) Ут-1(Х) + (2m + 1) (1 - coL) Ч (т) - 4л (1 - w) h(Г) ао„]Р„(ц) = 0. (9.105) Чтобы уравнение (9.105) выполнялось при всех л, все коэффициенты при Pmili) должны быть равпы иулю. Это условие приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Чт(т), т = 0, 1, 2, ... : + 1) + + (2т + 1) (1 - О = = 4л(1-со)/й(Г)6о;„, т = 0, 1.2,.... (9.106) где fo = 1, а штрих означает дифференцирование по т. Для изотропного рассеяния примем в уравнении (9.106) все функции fm равными нулю, кроме fo, которая равна единице. Уравнения (9.106) образуют бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций Чт(т). На практике, однако, рассматриваются системы с конечным числом уравнений т - N\ при этом членом N+i пренебрегают. В результате получается следующая система уравнений: Ч; + (1-со)Ч,= 4я(1-а.)/,(Г), 2Ч + Ч; + 3(1-а./,)Ч.=0. ЗЧ5 + 2Ч; + 5(1-ОЧ, = 0, (9.107) N, + (Л - 1) Ч-;,, + (2yV - 1) (1 - a.f ,) = 0. + (2Л + 1) (1 - cof д,) 4;, = О, которая представляет собой систему + 1 лииейиых обыкновенных дифференциальных уравнений с --1 неизвестной функцией 40, и Ijv и называется Яу-приближеннем. Решение системы (9.107) можно записать в виде суммы решения соответствующей системы однородных уравнений и частного решения; последнее, однако, не может быть точно определено до тех пор, пока не известна функция интенснвиости излучения черного тела h{T) - ПдТ{т)1п. Найдем решение си- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |