|
| |
|
Главная Журналы Зная Q с помощью (9.48) и (9.49) можно определить величины скачков температуры на границах г - г\ и г - га соог-ветственио. Плотность потока результирующего излучения на внутренней граничной поверхности получим, подставив в (9.47) г = ги Q2nr,q{r,), (9.54) и затем, подставив (9.54) в (9.53), получим oTf - аТ при использовании обычного диффузионного приближения выражение для плотности потока результирующего излучения иа внутренней граничной поверхности q{ri) получается из (9.516) и (9.54): oIlk±=JIlfr,ln{). (9.56) На фиг. 9.4 приведено сравнение величин q{)(дЦ~ afj), рассчитанных для поглощающей и излучающей среды с помощью модифицированного диффузионного приближения [по формуле (9.55)] и обычного диффузионного приближения [по формуле (9.56)], с решением Перлмуттера и Хауэлла [12], полученным  Фиг. 9.4. Сравнение обычного и модифицированного диффузионных приближений с решением методом Монте-Карло для случая концентрических цилиндров [7]. и (г2 - г1) -оптическая толщина, модифицированное диффузионное приближение [формула (9.55)-, --обычное диффузионное приближение [формула (9,56)]-,----решение методом MoHie-Карло [12]. методом Монте-Карло. Модифицированное диффузионное приближение дает достаточно хорошо согласующиеся с точным решением результаты при больших значениях х(г2 - п); согласие является достаточно хорошим и при малых х(г2-ri), если отношение Г21г\ не слишком велико. Во всех случаях имеет место значительное повышение точности расчета плотности потока излучения по сравнению с обычным диффузионным приближением. В случае когда среда между цилиндрами прозрачная, = О и выражение (9 55) упрощается дТ\ - 5 Г, (е, 2)" Гз (ег 2) (9.57) Это выражение дает правильный предельный переход для теплообмена излучением между двумя коаксиальными цилиндрами, разделенными прозрачной средой, только при ггг = 1 9.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭДДИНГТОНА Эддингтон [13] разработал одно из самых первых приближений для решения уравнения переноса излучения. В основе этого приближения лежит такое представление углового распределения интенсивности излучения, что интегродифференциальное уравнение переноса излучения преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение. Вывод приближения Эддингтона можно найти также в работах [1 и 4]. Остановимся вкратце иа этом приближении. Рассмотрим уравнение переноса излучения для плоского слоя ]- + Пг, ti)=(l-«)/*(T) + - \ 1{х, (9.58) Преобразуя обе части этого уравнения с помощью оператора 2л; J d\i, получим -i + G (т) - 4л (1 - 0))/, (т) + fi,G (т). = (1-а))[4л/,(т)-С(т)], (9.59) 12« где плотность потока результирующего излучения и пространственная плотность падающего излучения определяются выражениями (т) = 2я р/ (т, ц) d\i, -i 1 G (т) = 2л / (т, р) d\i. (9.60) (9.61) Преобразуя теперь обе части уравиеиия (9.58) с помощью опе- ратора 2л \id\i, получим РЧг). dx (9.62) где радиационное давление Р{х) определяется выражением Р{х) = 2п \\1У{х, \i)d\i, -1 (9.63) а с - скорость распространения излучения в среде. До настоящего момента анализ был точным; уравнения (9.59) и (9.62) представляют собой систему двух уравнений с тремя неизвестными: (?(т), G{x) и Р(т). Дополнительное соотношение Эддингтои получил, введя некоторое приближение для углового распределения интенсивности излучения. Разделив интенсивность иа прямую 1 {х, р), р (О, 1) и обратную /~ (т, р.), р,е(-1, 0) составляющие, можно записать Г о 1 (9.64) L - ] о" = 2д 0{х) q (т) = 2л / (т, ц) rfn 4- 5 {г> Ц) d\x . -] о \ р/" (т, Ц) + 5 \ d\b (9-65) . (9.66) Р (т) = 12я \ lir (т, li) dii + li/" (т. Р) rfp Если предположить, что составляющие интенсивности 1 (т, р.) и /~ (т, р.) не зависят от направления, т. е. /(т, р) = /+(т), 0<ц<1, /-(т. ц) = Г (т), -1<ц<0, (9.67а) (9.676) ТО соотношения (9.64)~(9.66) примут более простой вид С(т) = 2л[/+(т)+Г (т)], /(т) = л[/+(т)-/-(т)], Р()=Шиг)-\-Г{х)1 (9.68) (9.69) (9.70) Любые два из этих трех соотношений могут быть использованы для получения недостающего уравнения к системе уравнений (9.59) и (9.62). Например, из (9.68) и (9,70) получаем ?(t)-G(t). (9.71) Уравиеиия (9.59), (9.62) и (9.71) образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными q{x), G{x) и Р{х); комбинируя эти уравнения, можно получить обычное дифференциальное уравнение для любого из этих неизвестных. Например, можно исключить Р{х) из уравнений (9.62) и (9,71), что дает i = -.W. (9.72) Продифференцировав уравнение (9.59) и исключив из него с помощью (9,72) член dG/dx, получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для плотности потока результирующего излучения q{x): dq (т) dx = (1-0)) 4. + 3,Чг) (9.73а) которое и называется приближением Эддингтона. Можно исключить dqjdx из уравнения (9.59), используя для этого выражение (9.72), после чего получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для С(т): = 3(1-а))[С(т)-4л/,(т)]. (9.736) Эти уравнения справедливы внутри оптически толстой среды, но недостаточно точны вблизи ее границ. Ниже будет показано, что приближение Эддингтона, определяемое уравнениями (9.73), в точности совпадает с Pi-приближением [см. уравнения (9.120) и (9.121)]. Действительно, (9.73а) сводится к обычному диффузионному приближению (9.43), если пренебречь в нем членом второго порядка 4я dlJT) 3 dx (9.74) Помранинг [14] несколько модифицировал приближение Эддингтона. Его численные расчеты для простых задач с известными точными решениями показали, что модифицированное приближение имеет существенные преимущества перед исходным приближением Эддингтона. Некоторые приложения приближения Эддингтона можно найтн в литературе, посвященной вопросам взаимодействия излучения с теплопроводностью и конвекцией. В работе [!5] это приближение использовано для решения задачи о совместном действии излучения и естественной конвекции в поглощающей и излучающей среде между двумя горизонтальными пластинами, подогреваемыми снизу, а в работе [!б] - для решения задачи о совместном действии теплопроводности и излучения. Для решения уравнения (9.736) необходимы два граничных условия. Так как это уравнение аналогично уравнению, получаемому в Pi-приближении, отложим обсуждение вопроса о граничных условиях до разд. 9.7, в котором в более общей поста-новке рассматриваются граничные условия Марка и Маршака. Некоторые приложения приближения Эддингтона будут даны в гл. 1 1. 9.5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЩуСТЕРА- ШВАРЦШИЛЬДА Интегродифференциальное уравнение переноса излучения для плоского слоя изотропно рассеивающей среды может быть преобразовано в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи приближения, введенного Шустером [17] и Шварцшильдом [!8] Это приближение обсуждалось в ряде работ, например в работах Висканты [1], Чандрасекара [2] и Соболева [19]. Ниже приводится вывод этого приближения. Выделим в поле излучения прямой и обратный потоки излучения: /+ для о < и 1 и }- для -1 [i <; о соответственно, которые определяются следующим образом: I J+ /+ / дд о < [1 < 1, (9.75а) о /" = \ г (т, ц) d\i для - к [i < 0. (9.756) -I Используя эти определения, можно записать уравнение переноса цзлучщн интенсивности излучения в прямом и обратном Приближенные методы решения уравнения переноса излг/чения 359 направлениях: дР) (1 +10- + rl ц > о, (9.7ба) 1Г + Г (т, ц) (1 - 0)) 1,[Т) +10> + rl Ц < 0. (9.766) 1 Преобразуя уравнение (9.76а) с помощью оператора J d\i, о " а (9.766) с помощью оператора J d\i, получим соответственно 1 -1 5/T, [x)rf[x +/=(1-а))/,(Г)+0ч-+у-), (9.77а) [\xr{x,ii)dix +у- = (1-а))/,(Г)+ О-+у-). (9.776) d dx Lo Г о Уравнения (9.77) являются точными. На этом этапе вводится приближение Шустера - Шварцшильда: 5(хЛ(т, \i)diil\P{x, ц)ц = /+, (9.78а) 5 [i/~(T, ii)dii~- /-(т, i)d\x = -~lr, (9.786) Подставив эти выражения в (9.77), получаем Т + = (-)ЛГ) + (Г + у-), (9.79а) + у- = (1 - со) /, (Г) + у (Г + П- (9.796) 2 dx 2 dr Уравнения (9.79) образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций /+ и j- После определения }+ и /- можно рассчитать плотность потока результирую- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |