|
| |
|
Главная Журналы te 0.6
0,2 OA 0,6 0,8 Фнг. 9.1. Распределение безразмерной температуры при различных значениях оптической толщнггы [Ю]. излучения, проходящий через плоскость, расположенную в непосредственной близости от граничной поверхности, складывается из двух потоков: непосредственно испускаемого граничной поверхностью, и испускаемого слоем среды, в среднем отстоящего от граничной поверхности на длину свободного пробега фотона. Поэтому средняя температура среды в рассматриваемой плоскости будет заключена между температурой стенки и температурой среды на расстоянии длины свободного пробега от поверхности, что приведет к появлению скачка температуры на поверхности при конечных длинах свободного пробега фотонов (т.е. 1/). Если длина свободного пробега фотона стремится к нулю, соответствующая оптическая толщина тэ = стремится к бесконечности и температура при переходе от стеики к среде меняется непрерывно. Это явление аналогично скачку температуры у стенки, имеющему место при теплообмене в разреженном газе. Ниже будет вкратце рассмотрен предложенный Дайслером метод расчета плотности потока результирующего излучения в плоском слое и между двумя коаксиальными цилиндрами в условиях радиационного равновесия. ПЛОСКИЙ СЛОЙ Рассмотрим плоский слой несерой среды с оптической толщиной То, заключенный между двумя диффузно излучающими и диффузно отражающими непрозрачными параллельными граничными поверхностями (фиг. 9 2), Граничные поверхности т =:= О и т = То поддерживаются при постоянных температурах Г и Гг и имеют спектральные степени черноты siv и 82v соответственно. Перенос энергии осуществляется только излучениен (т.е. влияние теплопроводности и конвекции пренебрежимо мало), среда не содержит ии источников, ни стоков энергии; рассматривается установившееся состояние. Получим уравнения для скачка температуры на границах и для плотности потока результирующего излучения в среде. Плотность монохроматического потока излучения д(т) в плоском слое, интенсивности излучения на границах которого не зависят от направления, описывается выражением (8.83). Для т = О оно примет вид (9.28) Интенсивность излучения граничной поверхности /v (0) определяется выражением (8.107а) /(0) = eiv/v&(ri) + 2(I-e,v) /v (то) £з(то) + 4- \ S{x)E.{T)dx , (9.29) где р заменено на 1 - е,. Исключая (0) из (9.28) с помощью (9.29), получаем и (Л)-2; (о) 3 Ы -25, (тО Е, (т) dx . (9.30) Фиг, 9.2. Система координат для модифицированного диффузионного приближения. Для оптически толстой среды (т. е. больших то) имеем 3 (то)->0, а из (9.15) и (9.16) следует 5v(T)-/vb[7(r)]/,, (т), Подстановка выражений (9.31) -(9.33) в (9.30) дает 4л dlyb (т) 3 dx IV (9.31) (9.32) (9.33) (9.34) Функция Планка /уь(т) может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности т~0 и (.) = и (0) + т () + .... ,9.35) Подставляя (9.35) в (9.34), получаем 4ге dlyb (т) 3 dx jv U{Ti)~2Iyb{0)\ E2{x)dx~ dhb (т) (9.36) При больших To можно использовать для интегралов в (9.36) следующие оценки: 00 00 05 \E,{x)dx = j, \xE2{x)dx=\, T2£2(T)rfT = l. (9.37) 0 0 о в этом случае (9.36) упрощается: 4л d!yb{x) dx о
. (9.38) Пренебрегая членами второго и более высокого порядков, получаем из (9.38) я {1уь {Ti) - и (0)] =(~l)f -ь ".()-/v.(0)] = (-j),(0). (9.39а) (9.396) Аналогично получается соответствующее выражение для граничной поверхности т = то 1 1 \ 4я divb (т) л Uvb Ы) - /v& {Т2)] = - (- ~ у) (9.40 а) (9.406) Выражения (9.39) и (9.40) получены для частоты v; интегрирование их по всему спектру при постоянных радиационных свойствах поверхности дает соответственно пЦдТ\, а7-М0)1 = (-~)/, (9.41) n[oT\x,)~6Tl] = {±~)qr, (9.42) так как \ lyb{v).dv = Ib {х)пЦР{х)1п. Здесь 7"(0) и Г(то)-температуры среды у границ т = 0 и т = То соответственно; fi и Гг - температуры граничных поверхностей, а плотность потока результирующего излучения (?" всюду внутри среды постоянна. Далее выражения (9.41) и (9.42) будут использованы для определения плотности потока результирующего излучения q. ]Хля оптически толстой среды плотность потока результирующего излучения в диффузионном приближении описывается выражением [см. (9.22)] 4я dibix) (9.43) Интегрируя (9.43) от т = О до t = то при постоянном д, получаем x,q ==~{1ь(то) - h(0)] = ~I [оР (То) - оР(0)]. (9.44) Из (9.41) и (9.42) следует /гЧа7то)-а7-0)] = /гЧаГ-аГО + (- + -- l)/, (9-45) а из (9.44) и (9.45) получаем выражение для плотности потока результирующего излучения q в виде  Фиг. 9.3. Сравнение обычного и модифицированного диффузионных приближений с точным решением. Тф-оптическая толщина. / - точное решение, 8i=ez = l [II], 2 -модифицированное диффузионное приближение [формула (9.46)], ei=8j=l, 3-обычное диффузионное приближение [формула (9 44)]. Зная ПЛОТНОСТЬ потока результирующего излучения q, можно с помощью соотношений (9 41) и (9 42) рассчитать скачок температуры на граничных поверхностях т = О и т = то. Для прозрачной среды = О, откуда то = О и выражение (9.46) дает правильное предельное значение для плотности потока результирующего излучения между двумя диффузно отражающими и диффузно излучающими параллельными пластинами, разделенными прозрачной средой. На фиг. 9.3 приведено сравнение величины безразмерной плотности потока результирующего излучения {qjr)l{bT\ ~ oTfj, )ассчитанной по формуле (9.46), с точным решением Хоттеля 1 1] для 61 = 62 = 1. Формула (9.46) хорошо согласуется с точным решением во всем диапазоне оптических толп1.ин На том же графике приведены результаты расчета, выполненного в рамках обычного диффузионного приближения по формуле (9 44). Видно, что при малых То обычное диффузионное приближение дает результаты, существенно отличающиеся от точного решения. СЕРАЯ СРЕДА МЕЖДУ ДВУМЯ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ Рассмотрим серую среду без источников и стоков энергии, заключенную между двумя длинными коаксиальными иилннд-рами радиусом (внутренний) и Г2 (наружный). Стенки ци- линдров - непрозрачные, диффузно излучающие и диффузно отражающие - поддерживаются при постоянных reMnepaiypax Г] и 72 и имеют степени черноты ei и ег. Перенос энергии осуществляется только излучением. Воспользуемся модифицированным диффузионным приближением для определения плотности потока результирующего излучения в среде и скачка температуры на границах. Для простоты примем, что п=1. Пусть q{r)-плотность потока результирующего излучения на некотором радиусе г. Тогда интегральный поток результирующего излучения Q" в радиальном направлении, отнесенный к единице длины цилиндра, равен Q = 2nrq (г) const. (9.47) С помощью выражений (9 41) и (9.42), можно записать услО ВИЯ для скачка температуры на границах г = гх п г ~ в виде (9.48) (9.49) Диффузионное приближение (9.43) для цилиндра с учетом (9.47) принимает вид (9.50) Интегрируя (9,50) от г = ri до г - Гг н принимая во внимание постоянство Q"", получаем "Ub {Г2) - h(r,)I = (9.5la) дР{Г2) - аР(г.) = -\п[), (9.516) Из (9.48) и (9.49) имеем + (.52) Исключая [оР {г - оР {гх)] нз (9.516) и (9.52), получаем следующее соотношение для 2п L 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |