|
| |
|
Главная Журналы ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ДЮНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОТОКА РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ИЭДУЧЕНИЯ Выражение (8.83) для плотности монохроматического потока результирующего излучения в случае изотропно рассеивающего плоского слоя, интенсивиостн излучения на границе которого не зависят ог напрааления, упрощается и принимает вид (т) = 2я I (0) (I - т) + ( 5, (ТО dx - /; (т,) [1 - (to -1)- - \(т)йтЧ. (9.5) Здесь сохранены члены порядка то. и поэтому это выражени-имеет такой же порядок точности. Если членами порядка То пренебречь, то (9.5) упростится и примет вид а о ptr ; = д[/;(0)-/;(т,)]. (9.6а) Если граничные поверхности непрозрачны и pj=l-е, р = - 1 - e,v, то, подставляя выражения (9.4) в (9.6а), получаем [(]/eiv)+(l/82v)-lj (9.66) т. е. обычное выражение, используемое для расчета плотности монохроматического потока результирующего излучения между средой разделенными прозрачней ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ dqjdx Формулы (8.93) н (8,94) дают два различных выражения для й(т)тт в случае изотропно рассеивающего плоского слоя с осевой симметрией излучения. Используя приближение оптически тонкого слоя и пренебрегая членами порядка Tq, получаем из этих выражений = (1 - Ov) [Ыуь (Т) ~ 2пП (0) - 2д/- (То)] (9.7) (9.8) (т) - 2л/; (0) - 2д/; (То). dqy (т) = {\-ау){4к1,ь[Т{х)]~ 1 - plvp2V i В приведенных выше выражениях величина dq!ldx в приближении оптически тонкого слоя не зависит от коэффициента рассеяния, так как dxdy, а 1-ti)v = Hv/pv, вследствие чего ру сокращается. 9.2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТОГО СЛОЯ (ПРИБЛИЖЕНИЕ РОССЕЛАНДА, ИЛИ ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ) Среда называется оптически толстой, если средняя длина свободного пробега фотона (т. е. величина, обратная коэффициенту ослабления) мала ио сравнению с ее характерным размером. Это приближение, известное также под названием приближения Росселанда, нлн диффузионного приближения, впервые было предложено Росселандом [6]. Кроме того, оно выводится также в ряде других работ, например в статье Висканты [1]. Главное преимущество этого приближения состоит в том, что оно дает очень простое выражение для плотности потока результирующего излучения. Ниже будет представлен вывод выражения для плотности монохроматического потока излучения в приближении оптически толстого слоя. Перепишем соотношения (8.82) и (8.122) соответственно для плотности монохроматического потока излучения q!{x) и спектральной функции источника 5v(t): ;(т)-2д 5 i: (О, ц) е-% dii + \s (тО (т - т) dx \rv{Xo,~ii)e Sy{x)E2{r-x)dx .0 т (9.10) Следует отметить, что выражение (9.8) можно получить из (9.5), дифференцируя последнее по т; если же подставить в (9 8) формулу (9.2) для функции источника, то получим выражение (9.7). Подставляя формулы (9 4) для интенсивиостей излучения иа граничных поверхностях в (9.7), получаем 5v (Т) = (I - (О,) /vi, [Т (т)] + у (Ov 5/1(0. + . (9Л1) + $/v (то, -я)е 5v(tO£i (iT-Tl)rfT о Т=0 Разложим функцию источника S{x) в ряд Тейлора в окрестности т: 5v(tO==5v(t)+(t~t) 21 "- йт2 + ... . (9.12) Для оптически толстой среды т, то и (то - т) очень велики всюду, за исключением областей вблизи границ. Таким образом, рассматриваются области вдали от гран]]Ц, где можно считать, что т, То и То" т > I. (9.13) Для больших т интегроэкспоненциальная и экспоненциальная функции стремятся к нулю е-О, £„(т)0, т"£„(т)0 для тоо, rt= 1, 2, 3,... (9.И) Подставляя разложение (9 12) в (9.10) и (9.11), беря по частям интегралы с переменной интегрирования т н упрощая полученные выражения с помощью (9.14), получаем 5v(T)-/.jr(T)], (9.15) <т)---3--dT- ~ "3--Тх- (9- Приведенные формулы справедливы для оптически толстой среды в области, удаленной (оптически) от границ. Выражение (9.16) называется приближением оптически толстого слоя для плотности монохроматического потока результирующего излучения /?(т). Теперь можно записать выражения для плотности интегрального потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя: (9.17) V:=0 /() = -f fiv. (9.,8) V=l) Производная от 1у,Л(у)] у равна d!yb(T) dlbjT) dlb(T) dy " dlbiT) dy • Подставляя (9.19) в (9 18), получаем (9.19) (9.20) Определим средний no Росселанду коэффициент ослабления рд как [см. (1.56а)] 1 dlvbJT) Pv (п Тогда выражение (9.20) примет вид так как г, ч 4д djnT*) (9.21) (9,22) (9.23) (9,24) где п показатель преломления среды. Для постоянного п выражение (9 23) может быть представлено в виде q4y)-~kr4:, (9.25а) тпдТ (9,256) Коэффициент kr называют коэффициентом лучистой теплопроводности по аналогии с известным а теории теплопроводности коэффициентом теплопроводности. Выражение (9.25а) имеет тот же вид, что и соответствующее выражение для плотности теплового потока за счет генлопроводностн; отсюда видно, что приближение оптически толстого слоя описывает процесс переноса излучения как диффузионный процесс. Выражения (9 23) [или (9.25)] называют приближением Рос селанда или диффузионным приближением для плотности по- тока излучения. Средний по Росселаиду коэффициент ослабления рн, определяемый выражением (9.21), может быть рассчитай с помощью функции излучения второго рода [см. (1.566)]. В случае трехмерного температурного поля решение в диффузионном приближении с помощью разложения в ряд Тейлора получено в работе [7]. Трехмерный аналог выражения (9.16) для вектора плотности монохроматического потока результирующего излучения имеет вид (9.26) а трехмерный аналог выражения (9.22) для вектора плотносги интегрального потока результирующего излучения q имеет вид (9.27а) (9.276) Следует отметить ограничения в использовании диффузионного приближения. Оно справедливо внутри среды, ио неприменимо вблизи границ, где не выполняются условия (9.13). Оно не дает полного описания физического процесса вблизи границ, так как не включает в рассмотрение члены, учитывающие излучение от граничных поверхностен. Однако внутри оптически толстой области влияние граничных эффектов пренебрежимо мало, поскольку излучение, испускаемое граничными поверхностями, не достигает внутренних слоев. В приближении оптически толстого слоя влияние поглощения н рассеяния среды на теплообмен излучением учитывается только через коэффициент ослабления рд. Для только погло щающей и излучающей среды (т. е. при с = 0) величина рд заменяется на средний по Росселаиду коэффициент поглощения kr. Для только рассеивающей среды температура не оказывает влияния на теплообмен излучением. При практическом использовании диффузионного приближения следует помнить, что, если среда не является оптически тол-стон, или, иначе говоря, толщина слоя не составляет нескольких длин свободного пробега фотонов (т.е. не выполняется условие To=J Pvyl). величина плотности потока результирующего излучения может быть определена с большой ошибкой. 9.3. МОДИФИЦИРОВАННОЕ ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СРЕДЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В СОСТОЯНИИ РАДИАЦИОННОГО РАВНОВЕСИЯ Определение плотности потока результирующего излучения в непрозрачной среде, находящейся в состоянии радиационного равновесия, представляет значи1сльиый интерес для практических приложений. Диффузнониос приближение дает простое выражение для плотности потока результирующего излучения, однако его применение ограничено средами, толщина которых составляет не менее нескольких длин свободного пробега фотонов. Шорин [8] ввел понятие скачка температуры на границе, позволившее получить простое выражение для плотности потока результирующего излучения, которое является достаточно точным для сред как с малой, так и большой оптической толщиной. Однако при больших оптических толщинах его результат отличается от правильного значения, так как в своем анализе Шорин использовал приближение Шустера - Шварцшильда, а не приближение Росселанда. Дайслер [7] использовал граничное условие со скачком температуры на стенке и применил разложение в ряд Тейлора для распределения функции Планка в среде, что позволило ему использовать диффузионное приближение прн малых значениях оптической толщины для расчета плотности потока результирующего излучения в среде, находящейся в радиационном равновесии. Прежде чем перейти к рассмотрению анализа Дайслера, остановимся вкратце на граничном условии со скачком температуры на стенках. Пусть плоский слой серой среды конечной оптической толщины То находится в радиационном равновесии между двумя параллельными черными границами т = 0 и т = То, поддерживаемыми при температурах Ti и Т2 (7*2 > i) соответственно. Пусть 9(т)-распределение безразмерной температуры в среде, определяемой как Q(x) = [aT {х) ~ dTl]j(aTo~ alt). В работах [9, 10] получено распределение температуры в слое в результате точного решения этой задачи. На фиг. 9,1 результаты этих расчетов приведены в виде функции т/то для различных значений оптической толщины то- Из этого графика следует, что на границах слоя любой конечной оптической толщины температура терпит разрыв (т.е. имеет место скачок температуры). Однако при то-*-оо температура среды в слое, примыкающем к границе, становится равной температуре граничной поверхности. Физически возникновение скачка температуры на границе можно пояснить следующим образом. Поток результирующего? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [ 56 ] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |