|
| |
|
Главная Журналы универсальных функций е(т) и 9(т). При этом функция е(г) в точности соответствует функции, определяемой уравнением (8.132). Соотношение для плотности потока результирующего излучения в среде qix) в точности такое же, как и (8.128), и его можно преобразовать к виду (8.133), т. е. nt (0) ~ я/~ (То) J Tii+m-rix) пГ (0) - я/- (То) (8.183) Теперь, если подставить преобразование (8.180) в (8.183). то плотность потока результирующего излучения можно записать в виде (X) =0(х)-] -W. (8.184) Q(t)2 - U(T)£2(T-T)dT (8.185) Q.(t)2 - X Та 5 8 (тО Е, (т - т) dx - \ 0 (тО Е, (х - т) rfx . (8.186) -о т J Заметим, что функция Q{x) в точности соответствует функции, определяемой уравнением (8.134а). В случае черных границ интеисивности излучения на границах /+(0) и /-(То) известны. После нахождения функций 9(t) и 9.(т) путем решения интегральных уравнений (8.181) и (8,182) с помощью (8.180) рассчитывается распределение температуры. Функции Q(t) и Qg(T) находятся с помощью (8.185) и (8.186) соответственно, а плотность потока результирующего излучения (г) определяется по (8.184). НЕСЕРАЯ СРЕДА Проиллюстрируем теперь применение моделей полосы, узкой полосы и «частокола» для решения задач теплообмена излучением в несерой среде. Для простоты предположим, что границы черные, следовательно, интеисивности излучения на границах /+(0), р, > О и /-(то), р, < О известны. При использовании моделей полосы и узкой полосы уравнения, определяющие распределение температуры и плотность потока результирующего излучения могут быть выведены, как это делалось в разд. 8.10. Поэтому для этих моделей мы не будем повторять соответствующих выводов, а приведем лишь окончательные выражения. Для модели «частокола» будет представлен подробный вывод. а) Модель двух полос. Для модели двух полос, уравнение, определяющее распределение температуры в среде, имеет вид [см. (8,155а)] /(т) = g(t) + №(т) + №(то-т) + + \ f{x)E,{\x-x\)dx (8.187 а) и его можно представить в виде / (Т) - f2 h-f. Sir) 1 £2(Т) + + \ -71/ EAl-c-xDdx], (8.1876) где функции f(T), /] и fs описываются выражениями (8.154), а = (Т) avi (Т), (8.187в) xiT)dy. (8.187г) Заметим, что при отсутствии внутренних источников уравнение (8.1876) преобразуется в (8.1556). Предполагая, что величина g{x)ll{T) постоянна, можно связать функцию f{x), характеризующую распределение температуры, с упиверсальиыми функциями 0(т) и е,.(т) [см. (8.180)]: (8.188) где функции 0(т) и 9g(T) представляют собой решения интегральных уравнений (8.181) и (8.182) соответственно. б) Модель узкой полосы. Если предположить, что все узкие полосы (или линии) имеют одинаковые KoHiypbi, а также интенсивности и ие перекрываются, а я(т)/(7)-постоянная величина, то применение модели узкой полосы приведет к еле- дующему уравнению для распределения температуры: + I (т) + F2K2 (т, - т) + + \ F(TO/Ci(lT-Ti)rfT (8,189) где %у х= ау, dx = dy, а другие функции были определены выражениями (8.166) и (8.167). Заметим, что при отсутствии внутренних источников энергии уравнение (8.189) сводится к (8.165). Функцию F{x), характеризующую распределение температуры, можно связать с новыми безразмерными функциями 6*(т) и Qg{x] соотношением Г (т) - F2 . US-tJ. = э (т -1 - ,-F2 п{Рг- еит). (8.190а) где функции 9*(т) и 6g(T) представляют собой решения следующих интегральных уравиеннй: г t» в(т) = у Л:2(т) +Je(TOCi(iT-T[)rfT . (8.1906) Q]{r)==+j\Ql{rlK,(]T~-x})dT\ (8.190Q) а функции К]{х) и /(2(т) определяются выражениями (8,167). в) Модель «частокола». Сформулируем теперь задачу переноса излучения в селективно поглощающей и излучающей среде с внутренними источниками энергии, используя обобщенную модель «частокола». Предположим, что энергетический спектр разделен на полосы шириной ДУг (i = 1, 2, ..., jV), причем в пределах каждой полосы коэффициент поглощения постоянен. Тогда уравнение сохранения энергии примет вид <?;;((/) = 2я h{y, ii)\xd\i. (8.191а) (8.1916) (8.191в) Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 327 Последние соотношения можно записать в виде ЯЧУ) = Й;{У), (8Л92а) г?; (у) = 2л 5 (у, ц) (Л d\i, (8.1926) h{y, \ К{у, ii)dy. (8Л92в) Рассмотрим теперь уравнение переноса излучения в виде + J<v/v(f/. \)=x.JAT{y)l OyL (8Л93) с соответствующими граничными условиями при у = О ц у = L. Интегрируя (8.193) в пределах полосы частот Av.- и учитывая при этом, что коэффициент поглощения постоянен в этих ппе-делах, получим dii (у, Ц) Зу +hiy. ii) = >iJi, ( = 1, 2. Л, (8Л94) hi[T(y)] ату/п (8.195а) hi[T{y)] \hAT{y)]dv. (8.1956) (8 л 95b) a Ki - средний коэффициент поглощения для полосы Av,-. Преобразуем уравнение (8.194) с помощью оператора 2я \d\i (8Л9б) и получим с использованием (8.1926) d(l[ (у) г АккЩ, г=1. 2. iV. (8.197) Производя суммирование уравнений (8.197), при i - 1.2, ..., Л и используя (8.192а), найдем +2nf \ I, (У, v) = 4я f ,f, (8.198) Исключая dq{y)ldy из уравнения (8.198) с помощью уравнения сохранения энергии (8.191а), получим 1 «W+y !!L (8.199) /=1 2 sfs Затем, исключая aV{y)jn из уравнения (8.194) с помощью (8.199), получим р.----hKi(f/. \4 = -N- §{У) 2 Kfs \liiy, ti)rfti, i = I. 2, .... N. (8.200) £=1 Уравнения (8.200) представляют собой систему интегродиф-ференциальных уравнений с неизвестными функциями j.y р,), t = 1, 2. .. ., Л. После того как они определены с помощью (8.199), можно рассчитать распределение температуры в среде, а с помощью (8.192)-плотность потока результирующего излучения. г) Двухгрупповая модель «частокола». В качестве частного случая обобщенной модели «частокола» рассмотрим двухгруп-повую модель, когда коэффициент поглощения имеет только два значения во всем энергетическом спектре: К[ и 2. этом случае система ннтегродиффереициальных уравнений (8.200) ynj рощается и становится системой двух интегральных уравнений относительно интенсивиостей Ii{y, р,) н hiy, р,): + + SM-/..).. /=1ил„2. (8. /=1 -1 201) После того как эти интенсивности найдены путем рещения данной системы уравнений с соответствующими граничными усло- ду (8.2026) Если ввести переменную d% = %xdy, то уравнение (8.202) сводится к виду ЛКМ ,) + j 5 ) rf. (8.203а) dh (т, М п (8.2036) Уравнение (8.203а), решаемое относительно /i(t, j,), соответствует случаю серой среды, а решение (8.2036) относительно hix, р,) не представляет никаких трудностей, 8.12. ОТСУТСТВИЕ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ В предыдущих разделах было рассмотрено формальное решение уравнения переноса излучения в плоском слое при наличии осевой симметрии. В случае изотропного рассеяния задача переноса излучения в плоском слое прн отсутствии осевой симметрии легко преобразуется к задаче с осевой симметрией. Для анизогропно рассеивающей среды, если постулируется, что индикатриса рассеяния разлагается в ряд по полиномам Лежандра, как в (8.37), неосесимметрйчиая задача может быть сведена к последовательности осесимметричных задач путем разложения иитеиснвностн /(т, р, ср) в ряд Фурье по ср. Например, в работах [26, 27] использовано разложение интенсивности в ряд типа 1{х, р., ф)= Е 7(т, р,) cos m (ф - Фо), (8.204) предложенное Чандрасекаром [2] для решения задачи теплообмена излучением в анизотропном полупространстве и слое конечной толщины, на которые под некоторым углом падает внешнее излучение, виями, распределение температуры находится с помощью (8.199), а плотность потока результирующего излучения - с помощью (8.192) при N = 2. Если дальше предположить, что одно из Xi равно О, скажем К2 = 0, а Kl - конечная величина, то двухгрупповая модель «частокола» сводится к модели двух полос, рассмо1ренной ранее, и уравнения (8.201) становятся независимыми, т. е. а/,у,н) jy ,)==- + , 5/,(, )rf, (8.202а) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |