|
| |
|
Главная Журналы где безразмерная плотность теплового потока Q определяется в виде 1 ii Еъ {г)-}-\0 (тО £2 (т - г) dx~\Q (т) £2 (т - т) dr (8.1616) Безразмерная плотность теплового потока Q не зависит от т, поскольку в условиях радиационного равновесия плотность потока результирующего излучения 9* в среде постоянна. Выражения (8.161) имеют тот же вид, что и (8.134) для серой среды. Для черных границ интенсивности излучения /v (0) н /7 (то) известны, и поэтому функции fj, f, f] и можно определить непосредственно. Таким образом, после определения функции 6(т) путем решения интегрального уравнения (8.157) плотность потока результирующего излуче[Н1Я может быть рассчитана с помощью (8.161). Для получения распределения температуры в среде необходимо решить трансцендентное уравнение (8.156), в котором функция f{x) зависит от температуры. б) Применение модели узкой полосы. Уравнение (8 150) можно упростить, если использовать модель узкой полосы. Рассмотрим спектр поглощения, состоящий нз М узких полос (или линий) шириной Av, каждая, с центром, соответствующим частоте V, (/= ], 2, М). Для упрощения анализа предположим, что границы слоя представляют собой черные поверхности, т. е. Iti (0) hi (Г,) и /v" (то) = hi {Т2). Если преобразовать уравнение (8.150) с учетом приближения узкой полосы (8.138), то получим Y,Ibi\Tix)\ 5 avrfv-2/H(r,) \a,E2iayX)dv-{- i =1 -\-i\Y.bi{T{x)\\ \ alE(aJx~x\)dv . Av, dx\ (8.162) где a( < 1 (i = 1, 2, .. M) в пределах каждой полосы, а функция Планка 1ы рассчитывается в центре (-й полосы или лннни. Уравнение (8.162) можно записать в виде У hi [т (т)1 =j Е У Л W+У Z (2) + if f/.ЛЮЬЛ1(т-т)т, (8.163) о (=1 у, \aydv, (8.164а) (8.1646) (8.164в) Если предположить также, что коэффициенты поглощения для каждой полосы (илн линии) имеют одинаковые профили и величины, причем эти профили не перекрываются, то величины у., и /Cj(2) становятся не зависящими от i и уравнение (8.163) упрощается; f{x)=i F,K2 (г) -f F2K2 (го - т) + 5 (т) /С, (! т - т ) т (т)Е/.Л7(т)Ь (=1 м /(2(2) \E2[ayZ)d\, У = uydv. (8.165) (8.166a) (8.1666) (8.166b) (8.167 a) (8.1676) (8.167b) Удобно ввести безразмерную функцию 0*(т) F (т) - F2 (х) = FI-F2 (8Л68) Подставляя (8Л68) в (8Л65), получим следующее интегральное уравнение относительно функции 0*(т): /С2(т) + 5е*(х)/С,(1х-т)т (8Л69) Интегральное уравиеиие (8Л69) можно решить, зная характеристические функции Ki{z) и /(2(2), определяемые уравнениями (8Л67). Математические свойства функций Ki{z) и К2{) были рассмотрены Кросби и Вискантой [17]. Интегрируя уравнение (8.146) по всем частотам и используя приближение узкой полосы (8.138), можно получить соотношение для плотности потбка результирующего излучения g Если предположить, что границы черные, коэффициент!.! поглощеиня во всех областях одинаковы по форме и величине, а сами профили ие перекрываются, то уравнение (8.146) примет вид д = а (Г1 - Ti) -Ь 2пу [fKz (х) - f2K, (хо - х)] + + 2ду 5 f (хО К2 (т - т) dz-F (т) К2 (х - т) dz -о т (8.170) где F], F2 и F{x) определяются согласно (8.166), у и /(2(2) - согласно (8.!67), а функция /Сз (2) определяется следующим образом: /Сз() \ [3M-j]dv. (8.!7!) Заметим, что уравнение (8.170) имеет такой же вид, что и (8.1586), следовательно, его можно преобразовать, как это сделано в (8.161), и ввести функцию 0*(х). В результате получим i-o(T\~Tt) (8.172) где безразмерная плотность теплового потока Q равна Q2 /з(х)-ь59*(т)£2(х-х)х- -\д* (Т)£2(Т-Т)Т (8.173) g{y) илн dq(x) g(t) dx % (8.174) где dx =s dy - оптическая толщина, a плотность потока результирующего излучения (х) связана с интенсивностью излучения /(т, р) соотношением (8Л75) q{x) = 2TC 5 /(т, \i)\idii, Причем интенсивность излучения /(х, р) находится путем решения уравнения переноса излучения. Для плоского слоя поглощающей и излучающей среды с диффузно излучающими и диффузно отражающими границами уравнение переноса излучения и граничные условия [см. (8.1256) н (8.125в)] записываются После определения функции 0*(х) путем решения интегрального уравнения (8.169) можно рассчитать Q с помощью (8.173), а затем из соотношения (8.172) определить плотность потока результирующего излучения q. Чтобы найти распределение температуры в среде, необходимо решить трансцеидеитиое уравиеиие (8.168), которое содержит функцию F(z), зависящую от температуры. 8.11. ПЛОСКИЙ СЛОЙ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ В настоящем разделе рассматривается задача переноса излучения в плоском слое толщиной L, содержащем распределенные источники энергии с плотностью потока объемного излучения g{y). Предположим, что среда поглощает и испускает излучение и что непрозрачные границы у = 0 и у = L диффузно испускают и диффузно отражают излучение и поддерживаются при температурах Т[ и 72 соответственно. Нужно получить выражения для распределения температуры и плотности потока результирующего излучения в среде. В настоящем разделе дается математическая постановка этой задачи в случаях серого и несерого газа. СЕРАЯ СРЕДА Если перенос энергии осуществляется только излучением (т. е. вклад кондуктивного и конвективного теплообмена пренебрежимо мал), уравнение сохранения энергии в одномерном случае для среды, содержащей источники энергии с плотностью потока объемного излучения g{y), имеет вид [см. (8.186)] В виде tii + /(t. ц)/ЛГ(т)]. 0<т<То, -1<1х<1. (8Л76а) /+ (0) = tJ,{T,) + 2pf \ Г (О, - fiO firffi. fi > О, (8Л766) Г{т,) = г,{Т,) + 21\Г{г„ li)iidii, р < О, (8Л76в) рде То = и1 -полная оптическая толщина слоя. Соотношение, характеризующее распределение температуры в среде, получается, если преобразовать уравнение (8.176а) с помощью оператора 2л d\i + G (т) = 4nh [Т (t)1 4/i2a7* (т). (8.177а) Подставляя в (8.177а) выражение для dq{x)id% из (8.174), получим ndT{T) = +G{zl (8Л776) где G(t)-пространственная плотность падающего излучения С(т) = 2я /(т, ii)rfii. (8Л77в) Следовательно, если известно угловое распределение интенсивности излучения /(т, р,), с помощью соотношений (8Л75) н (8Л776) можно найти плотность потока результирующего излучения и распределение температуры в среде. Математическая формулировка рассматриваемой здесь задачи теплообмена излучением [уравнения (8Л76)] в точности совпадает с формулировкой рассмотренной ранее задачи для случяя радиационного равновесия [уравнения (8Л256), (8Л25в) и (8Л26)]. Поэтому подстановка выражения (8Л27) для G(t) в (8Л776) дает riQT (т) = + у [я/ (0) (т) + пГ (То) Е2 (То - т) + -\пЧГ {x)E,{\T-x\)dx (8 Л 78) п%Т (т) - пГ (То) 1 пГ (0) - я/- (То) :(t) + S 4 яЛ (0) - jt/-(То) яЛ (0) - я/-(То) (8.179) н использовать преобразование, связывающее распределение температуры с функциями 0(т) и 0(т): яаГ(т) - я/ (То) Q j Q я/ (0) - я/- (То) ~ Я/+ (0) - л/- (То) S Если функция 9(т) удовлетворяет следующему интегральному уравнению [см. (8.132)]: (8.181) Og{x). (8Л80) e(t)==i £,(T) + e(T)£,[T-T]rfT то преобразование (8.180) будет удовлетворять интегральному уравнению (8.179), если функция 9(т) представляет собой решение следующего интегрального уравнения: 9) = T + YSeg)£i(lT-Tl)rfT. (8.182) В справедливости уравнения (8Л82) легко убедиться, подставляя преобразование (8.180) в уравнение (8.179) и используя уравнение (8.181). Таким образом, интегральное уравнение (8Л78) [или (8.179)], определяющее распределение температуры в среде, преобразовано в два более простых интегральных уравнения относительно Это интегральное уравнение определяет распределение температуры внутри слоя; прн отсутствии внутренних источников энергии оно упрощается и сводится к (8Л30а). Решение уравнения (8Л78) прн постоянном зиаченнн g было рассмотрено Хис-летом н Уормннгом [24, 25], которые свели это уравнение к двум более простым интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ С ПОСТОЯННОЙ плотностью ПОТОКА ОБЪЕМНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Для упрощения анализа сделаем предположение о постоянной плотности потока объемного излучения внутренних источников энергии (g = const). Тогда уравнение (8Л78) можно записать в виде 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |