|
| |
|
Главная Журналы ннем, а также Графом [23] применительно к задачам переноса тепла излучением и теплопроводностью. В настоящем разделе будет проиллюстрировано применение модели полосы и модели узкой полосы в задаче теплообмена излучением в слое селективно поглощающей и излучающей среды в состоянии радиационного равновесия, а также будут записаны соотношения для расчета распределения температуры н плотности потока результирующего нзлучення в среде. Общие соотношения. Условие радиационного равновесия записывается в внде где 9) =0, dy (8.139 а) (8Л396) (8.139в) Для плоского слоя селективно поглощающей и излучающей среды уравнение переноса нзлучення можно представить в виде (8.140) Предполагая, что границы у = О н у = L являются диффузными излучателями и диффузными отражателями и находятся соответственно при температурах Ti и Гг, можно представить граничные условия в виде [см. (8,99)] /v(0) = 8A6(i) + 2piv5v (О, -ii)iidp.\ fi>0, (8.141а) /;(Z,) = 82v/vb(a) + 2p?v5v( l)\d]i, ii<0, (8.1416) Где /г, (Г) - функция Планка. Предположим, что зависимость спектрального коэффициента поглощения от температуры имеет вид [15], кщп{Т) = о.1{Т), (8.!42а) причем av<l, (8.1426 \ liT}dy, (8.143 а) (8.1436) Уравнение (8.140) н граничные условия (8Л4!) можно выразить через оптическую толщину IhiJ+aJAr, 1) = о.,1,,1Т{т)], 0<т<то. -1<1х<1, (8.144) прн граничных условиях С (0) = ivvb {д + 2pfv 5 /; (О, - ц) д dn, II > О, (8.145а) i~(4)-hJyb{2)i-9i lillidii, ii<0. (8.M56) Уравнение (8.144) с граничными условиями (8Л45) можно формально решить относительно плотности монохроматического потока излучения д{т) [см. (8.84)]: П (0) £з М + ] «v/vb [Т(т)] 2 к (х - т)] dT j -о f /7 (to) Е, [а, (то - т)] + ] av/vb [ Т (т)] 2 [«v (х - т)] dz 1, - 2д (8.146) а производная от д{т) по т определяется в виде [см. (8.95)] dq", (т) = AjiaJb [Т (т)] - 2я I av/v (0) Е (а,т) + av/7 Ы) Е.2 [ov (то - т)] + -\- ]<Л1.ь[Т {т)]Е,{а,\т - т \)dV \. (8.147) где av зависит только от частоты, а (7) - только от температуры. Определим переменную оптическую толщину т н полную оптическую толщину То в виде Формальные решения относительно интеисивностей излучения на граничных поверхностях it (0) и /7 (хо) имеют следующий вид fcM. (8.110)]: л! (0) = B,J, (Т,) + 2pf { /; (X,) 3 (а,т,) + + \ ctv/vb [Т (тО] [аУ) dr I. (8.148а) " (о) --ККь{2) + 2р?, { /: (0)Е,(ат,) + + 5av/v6[7(xO]2k (Хо- т)] d- (8.1486) а условие радиационного равновесия [см. (8.139)] записывается в виде rf7v(t) rfv -0. (8.! 49) Подставляя (8.147) в (8.149), получим \ aJyb{T{x)]dv = = av/v(0)£2(avt) + av/7(xo)£2lctv(To -т)] + v=o I + 5 Vyb 1 (-Ol я, (aJ т - тМ) rfT I dv. (8.150) Уравнение (8.150) совместно с выражениями (8.148) представляет собой интегральное уравнение для распределения температуры в слое, которое очень трудно решить в общем случае зависимости коэффициента поглощения от частоты. Если зависимость коэффициента поглощения от частоты приближенно описывается с помощью модели полосы или модели узкой полосы, то уравнение (8 150) можно преобразовать к виду, который легче поддается расчетам. Ниже будет рассмотрено применение модели полосы и .модели узкой полосы для решения уравнения (8.150) на основе подхода, принятого в работах Кросби и Висканта [15-17]. а) Применение модели полосы. Рассмотрим спектр поглощения, состоящий из М полос шириной Avj с центрами (i - = 1, 2, . .., М). Предположим, что параметр av в пределах полос принимает значения О < ctv < 1, а в интервалах между соседними полосами исчезающе мал. Заметив, что интегралы в (8.150) равны нулю, когда kv = О, запишем (8.150) в виде + уХ"2[а;(хо -т)] (/7(To)ufv + Z<i(°(-0{ \ b[T{T)]dv dx. (8.I5I) о (=1 Это достаточно общая запись уравиеиия. Рассмотрим его применение в некоторых частных случаях. Модель двух полос. Уравнение (8.151) можно упрощать и далее, если предположить, что спектр поглощения состоит из двух областей; области поглощения и области прозрачности, и что параметр равен I в области поглощения в пределах полосы частот Av и нулю за пределами этой области, а именно 1 для V в пределах полосы частот Av, О для V за пределами полосы частот Av. (8.152) С использованием такой модели двух полос уравнение (8.151) преобразуется к виду \ .Ub\T{)\dv:=E2{x) \ av/v(0)rfv-f 4- у Яз (то - т) 5 av/7 (то) dv + + 4 \ А(1т-т) \ a,hb\T[T)]dv\dx\ (8.153) (=0 где параметр av описывается условиями (8.152). Введем теперь новые функцнн f. /2 av/v (0) dv, (8.154а) (8.1546) (8.154в) Тогда уравнение (8.153) примет вид f,£2(T) + №(To-T)+ \ /(т)Я,(г-т)т (8.155а) или после преобразований То (8.1556) По уравненшо (8 1556) можно найти распределение температуры в среде, причем его вид аналогичен виду уравнения (8.1306) Введем безразмерную функцию 0(т) 0(т) Тогда (8 1556) примет вид /(T)-f2 2 [T) + \{T)E,{\r~x\)dT (8.156) (8.157) Полученное уравнение представляет собой интегральное уравнение относительно функции 0(т) и имеет точно такой же вид, как уравнение (8 13?) для серой среды Выведем теперь соотношение для плотности потока результирующего излучения Интегрируя (8 146) по всем частотам и используя приближение двух полос, описываемое условиями (8.152), получим искомое соотношение q = n 5 lUO)dv- 5 lv{To)dv за пределами за пределами + 2л/£з(т) 5/(0)с?у-£з(то-т) \K{xa)dv-\--{-\е,{х~х) \lvb[T{T)]dvdx- о Av То 1 - \ £2 (т - т) \ 1,ь [Т (т)] dv dx . (8.158a) т uv ] Это соотношение можно записать в более компактном внде q - \Kf\- Д + 2я ( f,E, (т) - hE, {х, - т) + + 5 / (т) (т - т) dx--\f {х) £2 (т - т) dx , (8.1586) где fb /2 н f{x) описываются выражениями (8.154), а fj и /2 определяются в виде f\ = /I {0)dv 5(1 - av) Ii (0) /v, (8.159a) за пределами f= /7(To)rfv= 5 (1-av)/v (To)rfv. (8 .1596) за пределами Уравнение (8.1586) можно записать в внде Т, . г (8.160) Подставляя (8 156) в (8 160), можно получить следующее выражение для плотности потока результирующего излучения. л Их - fi) (8.16la) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |