|
| |
|
Главная Журналы при р=1], и система уравнений (8.103) упрощается; П (0) = ivv. (i) + 2pfv (о) 3 (to) + 5 (т) 2 (f) rft (8.107a) (8.1076) Решение системы этих двух уравнений может быть представлено в виде Г+ /П\ 1 + 12 Iv (то) «2 + &2ai 1 - &1&2 То «2 = 2vKb{4 + 2p2v 5 (тО Я (to - T)rfT, (8.108г) (8.108а) (8.1086) (8.108в) сие в виде (8.108д) (8.108е) б) Нерассеивающая среда. В случае иерассеивающей среды ;ктральная функция источника (т) может быть записана 5Лг) = 1.ь{Т{х)]. (8.109) Тогда система уравнений (8 103) упрощается: /v(0) = e,./vb (Г,) + + 2pfv I " (о) 3 Ы + ( [Т (т)] 2 (тО I. (8.1 Юа) /7 (то) = e2v/vb (Тг) + + 2pfvv (0)зЫ+ 5 /v6[(t)I2(o-tO}- (8.1106) ПЛОСКИЙ СЛОЙ с НЕПРОЗРАЧНЫМИ ДИФФУЗНО ИЗЛУЧАЮЩИМИ и ЗЕРКАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ Рассмотрим плоский слой с оптической толщиной То с непрозрачными диффузно излучаюшими и зеркально отражающими границами. Пусть Г, и ~ температуры, и - спектральные полусферические степени черноты, р и - спектральные зеркальные отражательные способности граничных поверхностей т = 0 и т -То соответственно. Граничные условия для рассматриваемой задачи задаются соотношениями (8.100а) и (8.1006). Правые части этих соотношений содержат интенснвиости /7(0, -р) и / (то, р), которые могут быть найдены с помощью формальных решений относительно интенсивиостей (8.65) и (8.666) следующим образом. Приняв т~0 в (8.666) и т = То в (8.65), получим соответственно /7 (О, - fi) = /7 (То, - )х) е" + -f 5 у (т, - fi) e-/ dx при fi > О, (8.111) /v (то, ]х)==Пф, )х)е""- + 5 у Sv (т. )х) e-(»-)/rfT при ц > 0. (8.112) Подставляя (8.111) в правую часть (8 100а) и (8.112) в правую часть (8 1006), получим соответственно уравнения /; (О, fi)=Bj, (Г,) -f 9U [v" (to. - )) + + 5 ±S{x,-\i)e-!dx при n > 0, (8.113a) v" (о> -\) = hJ.b (2) + Piv (0- )+ + 5 ~Sv(t, \i)e-o-ldx при n>0, (8.1136) Теперь решение системы уравнений (8.110) можно представить в таком же виде, как и (8 108), за исключением того, что в этих уравнениях S[x) заменяется функцией Планка /v&[7(t)]. представляющие собой систему уравнений относительно интенсивиостей на граничных поверхностях Iv (О, р) и /7 (то, - р.) при р. > 0. Эти уравнения можно представить в более компактном виде /v (О, !x) = ai + 6i/7(To, !х>0, (8.114а) /7 (То, -!х) = а2 +(О, !х), р > О, (8.1146) «.ivv6(7,) + Pfv \ \.i>~v)e-dx, (8.115а) % ЬЛь (Т2) + Piv S -jT ( !) dx, (8.1156) (8.115в) (8.115г) Рещенне системы уравнений (8.114) имеет вид Г+/П .л "1-г."2 (8.116а) (8.1166) /vMO,p) = . р>0. /7(то. -!Х)=4> !>0. где qi и bi (i - 1 или 2) определяются формулами (8.115). Рассмотрим теперь некоторые частные случаи системы уравиеннй (8.113). а) Изотропно рассеивающая среда. Для изотропно рассеивающей среды спектральная функция источника не зависит ог направления и в уравнениях (8.113) Sm{x, р) можно заменить на Sy{x). б) Нерассеивающая среда. Для нерассеивающей среды спектральная функция источника 5у(т, ц) в уравнениях (8.113) заменяется функцией Планка 1уь [Т{х)\. 8.9. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА Формальные решения, приведенные в разд. 8.6, и уравнения для интенсивности излучения на граничных поверхностях, полученные в разд. 8.8, содержат спектральную функцию источника 5v(t, которая в большинстве практических случаев неизвестна. В настоящем разделе будет выведено интегральное уравнение относительно спектральной функции источника для плоскою слоя с излучением, не зависящим от азимутального угла. + 5 ySy(x, ii)e--ydx rfp + + 0), [ р(\,- Ю [/7 (то. - !х) е~- + + 5 jrS,{x,-\i)e-(-!dx d\i. (8.120) Уравнение (8.120) представляет собой интегральное уравнение относительно спектральной функции источника Sv(t, р), поскольку имеются соотношения, с помощью которых интенсивности излучения на границах /v (О, р) и /7 (то, - \) выражаются через эту функцию. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнения (8 120). Согласно (8.42а), спектральная функция источника определяется следующим образом: 5у{х,\1) = {\-щ)Гуь[Т{х)]-\<у p{\i,p.)[{x,\i)d\i. (8.117) Разделив интенсивность на прямую и обратную составляющие, запишем (8.117) в виде S,(T, !х) = (1-сй,)/,г,[7(т)1 + + "2 G)v 5 Р (М-> м-) (т, \i) rfp. -f 5 Р (!» М-) (т, p.) d[i (8.118) Заменив p на -p во втором интеграле, стоящем в правой части уравнения (8.118), получим 5v(t, !x) = (l-0v)v6[7W] + + -G)v 5 р(М-> l)iv (т, \i)d\i + 5 Р(М- - M-)v~ (т, - [i)dn (8.119) Подставим в правую часть (8.119) выражения (8.65) и (8.666) для составляющих интенсивности (т, [i) и /7 (т, - \i). Тогда (8.119) примет вид Sv(X. !x) = (l-G>v)/v6[7(T)] + G>v \ р{\1,\1)[П{0,\1)е~" а) Изотропно рассеивающая среда. Для изотропно рассеивающей среды р{\1, р) := 1 и уравнение (8.120) упрощается: 5,(т) = (1-«,)/,ЛГ(т)] + г 1 t 5 lU0,\i)e~dii-i- 5 5v(T)£i(T-T)rfT + -[1=0 Г 1 , /7 (То, - д) е"*-"* + 5 5v (тО (т - т) rfx -1=0 (8,121) Это уравнение можно записать в более компактном виде 5,(т) = (1-«,)/,ЛТ(т)] + 5 /v (0. р) e-rfp + 5 (То, - li) rfp + -о о + 5 5v(T)£i(iT-TI)rfT . (8Л22) б) Изотропно рассеивающая среда; интенсивности излучения на граничных поверхностях не зависят от направления. В этом случае уравнение (8.122) упрощается: 8Аг) = {1-щ)1.ь[Т (т)] + +1 [li (0) £2 (т) + /7 (То) Е2 (То - т) + + \ S,{z)E,{\r-x\)dz т=.0 (8.! 23) 8.10. РАДИАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ В ПЛОСКОМ СЛОЕ; СЕРАЯ И НЕСЕРАЯ СРЕДЫ Приложения теории теплообмена излучением в непрозрачных средах будут рассмотрены в гл. И, а приложения теории сложного теплообмена при взаимодействии излучения с теплопроводностью и конвекцией в гл. 12-14. В данном и последующем разделах будут приведены простые примеры теплообмена излучением в поглощающих, излучающих н рассеивающих средах, чтобы проиллюстрировать применение некоторых выведенных ранее формальных соотношений, а также некоторых методов анализа переноса излучения в несерых средах,  СЕРАЯ СРЕДА Предположим, что среда и границы - серые. В разд. 8.2 было рассмотрено понятие радиационного равновесия и показано, что в случае плоского слоя и приближения серой среды условия радиационного равновесия записываются следующим образом [см. (8.23) и (8.24)]: , = 1 /(т, p)rfpG(T), (8.124а) = О или = 0, (8.1246) где т - оптическая толщина, т. е. dx = dy, а G (т) - пространственная плотность потока падающего излучения. Первое из этих условий дает соотношение, с помощью которого находится распределение температуры в среде прн условии, что известно угловое распределение ннтенснвностн излучения Их, р). Второе условие означает, что при радиационном равновесии плотность потока результирующего нзлучення в любой точке среды постоянна. Заметим также, что величина q связана с интенсивностью излучения соотношением [см. (8.77)] / = 2я 1{х, \х) ц dfi. -1 (8.!24в) Это означает, что плотность потока результирующего нзлучення легко найти, если известна интенсивность излучения в среде. Теперь задача сводится к определению углового распределения интенсивности излучения 1{х, д), которая удовлетворяет Ниже рассматривается задача теплообмена излучением в условиях радиационного равновесия в плоском слое поглощающей, излучающей и рассеивающей среды толщиной L; граничные поверхности у = О н у = L поддерживаются прн температурах Ti и 72 соответственно. Предполагается, что границы непрозрачные, являются диффузными отражателями и диффузными излучателями и имеют степени черноты bi и вг, н отражательные способности pf и р. В данной задаче требуется определить распределение температуры и плотность потока результирующего излучения в среде. Рассмотрим вначале серую среду, а затем распространим наш анализ иа случай несерой среды. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |