|
| |
|
Главная Журналы уравнения переноса излучения для изотропного рассеяния (8.10а), т. е. ilK is. О) + Mv(s, Щ = ьУТ) + ~ау \ ly{s, U)dQ., (8.47) если производную но направлению djds выразить через частные производные по пространственным координатам рассматриваемой системы. Такое преобразование djds в сферических и цилиндрических координатах было описано Вайибергом и Вигие-ром [7] при выводе аналогичного уравнения в теории переноса нейтронов. СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ В системе, обладающей сферической симметрией, интенсивность излучения в любой точке зависит от двух переменных: г-радиального расстояния от источника излучения и р-косинуса угла между направлением иучка Q и направлением радиус-вектора г. Производную по направлению djds можно связать с производными ио г и р следующим соотношением: а dr д d\i дг ds d[A ds (8.48) Производные drjds и dp/ds определим с помощью геометрических построений (фиг. 8.4). Прн перемещении иа ds вдоль пути s в направлении Q происходит увеличение радиальной координаты г иа и уменьшение угла О на dd. Тогда, обращаясь  Фиг. 8.4. Система координат для задачи со сферической симметрией. К фиг. 8.4, можно записать ds =cosejA, d8 sine поскольку ds г ds г г dp, = rf (COS 9) = - sin e de. Подставляя (8.49) и (8.506) в (8,48), получим I - (Г д ан * (8.49) (8.50а) (8.506) (8.51) (8.52) Тогда уравнение переноса излучения (8.47) в случае сферической симметрии принимает вид а/у (г, i) , 1 а/у (л и) а J . V (i -д-,- + ---Щ1- + Mv(Л (i)- = Xv/v6 (П \ lAr, Ю (8.53) ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ Рассмотрим цилиндрическую систему координат, в которой ось Z является осью цилиндра. Предположим, что интенсивность излучения ие меняется в направлении z. Радиус-вектор может быть задан координатами г, ф, а направление переноса излучения Q в данной точке координатами 9 и фй, где Q - полярный угол между направлением Q и осью z. Из условия цилиндрической симметрии следует, что иитеисивность излучения инвариантна относительно вращения вокруг оси z. Тогда интенсивность излучения зависит от трех иеремеииых: радиального расстояния г от оси Z, полярного угла 9 и разности азимутальных углов ф = фп - фг- На фиг. 8.5 представлены рассматриваемые здесь координаты. Производная ио иаиравлеиню d/ds связана с частными производными ио этим переменным следующим соот-иощеиием: а g 5j д dr , - Иг Т дг ds ~ аф ds Производные dr/ds и di/ds можно вычислить. Перемещение на ds вдоль пути 5 в направлении Q приводит к увеличению ра- Г лава 8  Фиг. 8.5. Система координат для задачи с цилиндрической симметрией. диальнон координаты г на dr, уменьшению угла ф на ф, а угол 9 остается неизменным. Запишем СОЗф, ds sin 6 г d<D а =Sin ф. Подстановка (8.55) и (8.56) в (8,54) дает = sine cos sin 6 sin ф д (8.55) (8.56) (8.57) Тогда уравиеиие переноса излучения (8.47) в случае цилиндрической симметрии принимает вид div(Л е, ф) sine 5/vе. ф) COS ф - ii-;] + р./, (г, 9, ф) = = Xv/vb iT-iv \ \и (г, е, ф) sin 6 d9 d(p. (8.58) 8.6. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛУЧАЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ В настоящем разделе приводится формальное оешеине уравнения переноса излучения в плоском слое при наличии осевой симметрии. Подход к решению задач при отсутствии осевой сим- метрии рассматривается в конце главы, где показано, что в этом общем случае уравнение переноса излучения можно преобразовать в систему уравнений, соответствующих случаю осевой симметрии. Рассмотрим уравнение переноса излучения, записанное в следующем виде [см. (8.41)]: p-4 + /v(-r, li)=-S(T. 1) при 0<т<то, (8.59а) 5, (т. )(l~G>)/,j7(T)]-f 4-- 5(ц,/)/v(t. pOrfu, (8.596) p{\i, li) = Z «Л (i) Pn (!i)» Oo = I, I - to. (8.60a) (8,606) a л - косинус угла между направлением переноса излучения и положительным направлением оси т. Граничные условия для уравнения (8.59) формально можно записать в виде /v(t, p)[t=o = v (0. !) при 0<л<1, (8.61а) /v (т. !) 1т=т. = " (то. !) "Ри - К р < 0. (8.616) В общем случае интенсивности излучения на граничных поверхностях it (О, i-t), > О и /7 (то, t), < О не обязательно известны заранее как исходные данные. Например, в случае отражающей непрозрачной граничной поверхности функции, стоящие в правой части уравнений (8.61 )> будут содержать интенсивность излучения внутренних слоев среды, отражающегося От граничной поверхности; следовательно, они неизвестны. С другой стороны, в случае прозрачных границ с падающим извне осесимметричпым излучением или в случае черных границ с заданной температурой эти функции известны. Прн отыскании формального решения уравнения (8.59а) обычно разделяют интенсивность /у(т, р.) на две составляющие: прямую /v (т, 1л), р > О, и обратную /v (т, i-i), i-i < 0. Тогда уравнения для /v (т, \i) и /v(t, ft) и соответствующие граничные условия примут вид ---Ь(т, (i) = 5v (т, !х) при 0<т<То, 0<л<1, (8.62а) /v (т, л) =o = v (О, 1) при 0<л< 1 (8.626) dly (т, !*) ~дх-- " !) = v(t, р.) при С <т<То, - 1<м. < 0. (8.63а) (т, \i) = (то. \i) при - I < р < 0. (8.636) Эти уравнения взаимосвязаны, так как содержат функцию источника Sv(t, р) Sy{r, ji) = (I-a)v)U [(т)1 + 5 Р (!. !) (х, !х) dp + [р (!1, л) Iv (х, Ю dli (8.64) Система координат для рассматриваемой задачи показана на фиг. 8 6 Уравнения (8 62) и (8.63) представляют собой систему иитегродиффереициальных уравиеннй, непосредственное решение которых в общем случае невозможно. Поэтому, прежде чем приступить к изложению подробностей решения системы этих уравнений, опишем общий ход анализа, чтобы создать представление о методике решения, которая будет приведена в последующих разделах данкой главы. Сначала уравнения (8.62) и (8.63) будут формально решены относительно интенсивиостей /v (х, р.), р. > О и Iv (т, р,), р. < (Г и«1 ц>0 ц<0  Фиг. 8.6. Система координат при формальном решении уравнения переноса излучения в плоском слое. В большинстве приложений представляют интерес такие величины, как пространственная плотность потока падающего излучения С(т), плотность потока результирующего излучения q(т) и его производная dq {x)ld%. Следовательно, с использованием формальных рещенин относительно / (х, р.) и /7 (х, р.) будут получены общие соотношения для G (т), (?(т) и dq {x)ldx. Как будет видно из дальнейшего, все эти выражения содержат интенсивность излучения на границах (/ (О, р), р, > О, и /7 (хо, М-), !х < 0), а также функцию источника Sv(x, ix), которые в общем случае неизвестны. Следующим шагом анализа будет отыскание соотношений для интенсивное гей на границах и функции источника. В разд. 8.7 рассматриваются граничные условия, соответствующие задачам теплообмена излучением, а в разд. 8.8 - формальные решения для интенсивиостей на граничных поверхностях. Однако для определения с помощью этих соотношений интенсивиостей на границах необходимо знать функцию источника Sv(t, р). Чтобы завершить анализ, в разд. 8 9 представлено интегральное уравнение, определяющее функцию источника. Заметим, что формальные соотношения для G(t), q{x) и dq[x)ldx, а также интенсивиостей иа граничных поверхностях, которые будут получены в настоящем анализе, часто используются при расчетах теплообмена излучением в различных приложениях, которые рассмотрены в гл. П -14 Поэтому, чтобы иметь готовые соотношения для таких расчетов, мы выведем сначала общие формулы, а затем найдем выражения для С(т), q{x), dq[x)ldx и интенсивиостей иа границах для некоторых частных случаев Перейдем теперь к подробному описанию анализа. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНТЕНСИВИОСТЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ Формальное решение относительно прямой составляющей 1ч (т, р.) находится с помощью уравнений (8.62): П (т, 1) = П (О, !х) е-" + 5 17 "Р" > " (8.65) а для обратной составляющей /7 (т, !х) - с помощью уравнений (8.63): /7 (х, ti)==/7(To, !х) е-"-- - \ - Sv (т, р) е-(-)и dx при р < О (8.66а) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |