|
| |
|
Главная Журналы щее состояние радиационного равновесия, получайся приравниванием нулю правой части уравнения (8 17а): г 2л или в другом виде*) V-q = 0. dy (8.19) (8.20) Ур-авнения (8 19) и (8 20) представляют собой математическое определение радиационного равновесия Если интенсивность излучения не зависит от азимутального угла ф, уравнение (8 19) упрощается н принимает вид г 1 (8.21) Для серой средь! при наличии осевой симметрии уравнение (8.19) преобразуется к виду 1ь{Т) = ~ \l{s, \i)dii -1 - = -2- / (S, p)rfp. (8.22) (8.23) В случае одномерной задачи, когда в качестве оси координат выбрана ось оу, условие радиационного равновесия (8 20) принимает БЛД = 0, (8.24) Из этого соотношения следует, что плотность потока результирующего излучения в направлении у постоянна иа любом расстоянии вдоль оси оу Однако из постоянства плотности потока результирующего излучения никоим образом не следует постоянство плотности монохроматического потока результирующего излучения которая может изменяться с расстоянием даже если величина q остается постоянной 8.3. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ Рассмотрим уравнение переноса излучения в виде ) = SAs> й). где спектральная функция источника Sv [s, Й) определяется следующим образом: Sy{s, й)(1-со,)и(Л + со, 5p(Q.Q)/,(s, Q)rf£3. (8.26) Уравнение (8 25) является интегроднфференциальны.м уравнением в частных производных, поскольку производная d/ds содержит частные производные по пространственным координатам, если записать ее в явном виде для данной системы координат а интенсивность /v(s, Q) входит иод знак интеграла в функции источника. Поэтому решение уравнения (8 25)-задача очень сложная даже для одномерного случая. Однако весьма полезно проследить за формальным интегрированием уравнения (8 25) вдоль пути S в направлении Q при формальном граничном условии /(s, Й) -/ov при s = So. (8.27) На фиг. 8 2 схематически представлена рассматриваемая задача. Интегрирование уравнения (8 25) вдоль пути s при граничном условии (8 27) дает I[s, Q) =/ovexp + \ Pv [s) 5v is, Q) exp - 5 Pv [s") ds" ds\ (8.28) Уравнение (8 28) называется интегральной формой уравнения переноса излучения, по оно не является решением в под- Фиг. 8 2. Координаты, используемые При формальном интегрировании уравнения ntptEoca излучения. bv  лиином смысле, поскольку функция источника Sv{s\ Q) зависит от интенсивности. Однако эта интегральная форма дает возможность выявить роль различных физических факюров, влияющих иа интенсивность в любой точке вдоль пути s. Первый член в правой части уравнения (8.28) представляет собой вклад интенсивности излучения, исходящего от границы S = So. Интенсивность /ov излучения, испускаемого граничной поверхностью, ослабляется в результате поглощеиня и рассея- ния в ехр раз, когда оно достигает координаты S вдоль пути интегрирования. Второй член в правой части уравнения (8.28) соответствует вкладу функции источника 5v(s, Q) на участке пути Sq - s. 8.4. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛУЧАЯ Поскольку решение уравнения иереиоса для общего трехмерного случая представляет собой очень сложную задачу, в большинстве практических случаев рассматривается одномерная задача. Ниже будет выведено уравнение переноса излучения для плоскопараллельиого случая. Рассмотрим среду, состоящую из плоских слоев, перпендикулярных оси оу, причем в каждом слое радиационные свойства постоянны. Пусть S-длина, измеренная вдоль произвольного направления Q, а 6 - полярный угол между нанравлеиием Q и положительным направлением оси оу (фиг. 8.3). Производная ио направлению d/ds может быть выражена через производные по пространственной координате у в виде где р, - коочнус угла В между направлением распространения излучения Q и осью оу, т. е. р. cos 6, (8.30) а частные производные по х п z для плоскопараллельиого случая равны нулю. Тогда уравнение переноса излучения (8,10а) принимает следующий вид; JirAy, 1. ) = SAy, Ф), (8.31а) Sy{y, li, <p)(l-cOv)/vo[Г((/)! + + -5 \ p((io)/v(l/. 1х,ф)-1ф. (8.316)  м = о  фиг. 8.3. Система координат для плоского слоя. а - косинус угла Во между направлениями падающего и рассеянного лучей, т. е. Q. fi = cos ВоМо. р,о определяется соотношением [см. (1.65)] lo (1(1ч- VV1 - м- cos(ф - ф). (8.32) (8.33) В задачах теплообмена излучением удобно определять оптическую толщину т в виде dx = dy или т = Pv dy\ (8.34) Тогда уравнение переноса излучения (8.31) принимает вид dly (т, (I, ф) + /v(. м-, ф) = •Sv(t, (1, ф). Sv (т, ц, ф) = (I - COv) /vb [Т (т)] Ч- ф=0 Ц=-1 (8.35а) 2л I СЛУЧАИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ Если граничные условия для уравнения переноса излучения характеризуются осевой симметрией, то интенсивность излучения в среде не зависит от угла ф и уравнение (8,35) упро- щается iiJiL + (t, [х) (1 - o>v) и [т (т)1 + + S /v(T, рО \ рЫФр. (8.36) Ц=-1 Ф=еО Чтобы выполнить интегрирование по ф, разложим индикатрису рассеяния p(io) по полиномам Лежандра) [см. (2.55)]; «1=0 (8.37) где Р„ (ро) - полином Лежандра «-го порядка от аргумента ро-Заметим, что если аргумент Ро полинома Лежандра Р„(Ро) связан с и р соотношением (8.33), то для полиномов Лежандра справедливо следующее соотношение [10]; РпЫ-Рп{\)Рп (Ю + + 2 Е тШ- ff) ff) Ч) - ф). (8.38) где Рп(р)~ присоединенные функции Лежандра. Тогда (8.37) принимает вид + 5 Z Е аРп (р) Я? (рО cos m (ф - ф), (8.39а) l+it «-m, iV, 0<т<Л. (8.396) Интегрируя (8.39) по ф в пределах от О до 2л, получим 5 р (ро) dq> = 2л (t) Р„ (р). «о = 1, (8.40) поскольку иитеграл от со5т(ф -ф) в пределах 2л равен О при целочисленных значениях т. Подстановка (8.43) в (8.36) дает Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 281 уравнение переноса излучения в случае осевой симметрии: a/v(y) 5 где J 5,(т, ц) = (1-о>,)/,ЛГ(т)] + - 5(Р, pO/v(. lOt, (8.42а) P(ti. 1) = Z аЛ (ti) P« (A «0= 1, fi=0 (8.426) a индикатриса рассеяния p(p, p) не зависит от азимутального угла. Уравнение (8.426) имеет ряд часгиых случаев. Случай N = 0 соответствует изотропному рассеянию, N=1 - индикатрисе линейно анизотропного рассеяния, т. е. р{\, Ю = 1 (8.43) а jV = 2 - индикатрисе анизотропного рассеяния второго порядка: р(р, рО = 1 + «,t4 + ~a2(3p2- 1)(3р2 1). (8.44) Индикатриса рэлеевского рассеяния получается из уравнения (8.44) при а, ~ О и а2 = 1/2, т. е. р (р, рО = 1 +1 (Зр - 1) (Зр - 1) = 1 [3 - р2 + (Зр2 1) (8.45) Можно доказать эквивалентность этого выражения нидикатрисе рэлеевского рассеяния, описываемой уравнением (2.89), если осреднить последнюю по ф: р(р. о = $-(1 + рЭф. (8.46а) + д/1 - д/! - [i2 COS (ф - ф). (8.466) После интегрирования член, содержащий со5(ф - ф), исчезает и получается результат, описываемый формулой (8.45). 8.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ В данном разделе будет представлено уравнение перенос излучения при изотропном рассеянии в цилиндрической и сферической системах координат. Эти уравнения можно получить из 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [ 45 ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |