|
| |
|
Главная Журналы  Фиг. 8.1. Координаты, используемые при выводе уравнения переноса излучения. где rf/v - увеличение спектральной интенсивности на пути ds. Величина dl[s, О, t)dAdQdvdt (8.1а) представляет собой разность энергий излучения, которое пересекает поверхности dA в точках s ds и s за интервал времени di в окрестности i, в интервале частот dv в окрестности v, и распространяется в пределах единичного телесного угла dQ относительно направления Q. Обозначим через увеличение энергии излучения пучка в Этом объеме, отнесенное к единице объема, времени (в окрестности t), частоты (в окрестности v) и телесного угла (относительно направления Q). Тогда величина WdAdsdQdvdt (8.16) представляет собой увеличение энергии излучения пучка, заключенного в элементарном цилиндрическом объеме dAds и распространяющегося в пределах телесного угла d£2 относительно направления й за промежуток времени dt в интервале частот dv. Приравнивая (8.1а) и (8.16), получим ds - (8.1 в) Если с -скорость распространения излучения в среде, то расстояние ds равно ds = cdt. (8.2) Тогда (8.1в) можно переписать в виде 1 Р/у (S, Q, t) (8.3) где O/D - субстанциальная производная для элемента, движущегося со скоростью с, которая связана с частными производными по времени и пространственным координатам соотношением -+.Q.V/,. (8.4а)  dfv , дГ + С (8.4в) где d/ds означает дифференцирование по пути s. Используя полученные соотношения для субстанциальной производной, представим уравнение (8.3) в виде с дГ (8.5а) (8.56) Теперь можно получнть выражение в явном виде относительно Для поглощающей, испускающей и рассеивающей среды величина Wy образована составляющими, обусловленными приращениями и потерями энергии излучения: Wv - 1иэлуч - поглощ ~\~ приращ. за счет потери за счет • (8.6а) рассеяния рассеяния Первый член в правой части представляет собой приращение энергии излучения вследствие собственного излучения среды, отнесенное к единице времени, объема, телесного угла и частоты. Обозначим его /(s, t), тогда из луч -/:(5.0- (8.66) Второй член представляет собой потери энергии излучения вследствие поглощения излучения средой, отнесенные к единице времени, объема, телесного угла и частоты. Их можно записать в виде [см. (1.57)] ft„or.iom = 5<v(s)/v(S. , О- (8.6в) Третий член соответствует приращению энергии излучения, обусловленному излучением, падающим на среду со всех направлений сферического пространства, н рассеиваемым средой в направлении Q Эта величина, как и предыдущие две, отнесена К единице времени, объема, телесного угла и частоты. Прн чисо Это соотношение можно записать в несколько ином виде: - + cV.(QU (8.46) где нсиользовано векторное тождество Если направление О выбрано вдоль пути s, то V • {Ql} = dIJds и (8.46) можно представить в виде) когерентном рассеянии в изотропной среде третий члеи можно представить в виде [см. (1.66)] приращ. за счет рассеяния = -hAs) 5p(0-0)/v(s. 0,)dQ, (8.бг) где O0 = cos9o и Bq -угол между падающим и рассеянным лучами. Последний член соответствует потерям энергии пучка за счет рассеяния излучения средой, в результате которого лучи отклоняются от. направления Q. Эти потери также отнесены к единице времени, объема, телесного угла и частоты. Их можно записать в следующем виде [см. (1.60)]: WunTf-ni, ,я f.pv = (Ум(5)Iv(s. fi, t). (8.6д) потери за счет-Crv(s)/v(S, t). рассеяния Подстановка выражений (8.6) в (8.56) дает уравнение пере носа излучения I a/v (s, а, о , <3/v (s, Q, о , г / ч , / м 7 / г» 4\ --Vr +-Ts- + K(s)4-(v(s)]/v(s. . 04-a,(s) \ p{Q-Q)IAs,,t)d\ (8.7) в большинстве практических приложении членом [l/c) [dijdt) в этом уравнении можно пренебречь по сравнению с другими членами из-за большой величины скорости распространения-излучения с. В этом случае уравнение (8.7) упрощается и принимает вид + [>v is) + (Т, is)] I, is, о. t) - = /v («. ) + ж (5) \ P • щ /v (s. fi. t) do., (8.8) В этом уравнении интенсивность излучения зависит от времени, если член /(s, t) является функцией времени. Следовательно, в (8 8) время рассматривается просто как параметр. Если предположить также, что устанавливается локальное термодинамическое равновесие и справедлив закон Кирхгофа, то член /(s) связан с функцией Планка следующим соотношением [см. (1.59)]; 4(5) = и,(5)/,(Г). (8.9) Теперь уравнение (8.8) можно записать в виде (-" +/v(s. fi) = v(s). (8.10а) где использованы следующие обозначения: 5v(s)(l-G>v)/v6(n4-G>v 5p{-)v(s. fiOrffi, (8.106) Pv(s) = >v(s)4-fv(s). (8.10в) (8. Юг) Ov (S) . (S) с2.[ехр(АуДГ)-1] • (8.10д) 5v(s) называется спектральной функцией источника; Pv(s) - спектральным коэффициентом ослабления; cov - спектральным альбедо, которое представляет собой отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту ослабления. Для простоты в приведенных выше соотношениях время опущено. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнения (8Л0а). а) Серая среда. Если радиационные свойства среды не зависят от частоты, интегрирование уравнения (8.10а) по всему спектру дает . = (1-»)- + p(Q.Q)/(s. Q)dQ, (8.11а) Hs, 0) \ Us. dv. (8.116) (8.Mb) ал - показатель преломления среды. б) Только рассеивающая среда. Для среды, которая не поглощает и не испускает излучение, а только рассеивает его, (Ov = 1 (т.е. = 0) и уравнение (8.10а) упрощается: Ah + ,(s, Q) = Sp(Q-Q)/,fe (8.12) В этом уравнении частота является просто параметром, поскольку для любой заданной частоты получается независимое уравнение. в) Только поглощающая и излучающая среда Для среды, которая только поглощает и испускает излучение, но не рассей- вает его, cov = О (т. е. о = 0). Тогда уравнение (8.10а) принимает вид J .iM + /(,, Q)=/,(r). (8.13) г) Прозрачная (диатермическая) среда. Непоглощающая, неиспускающая и нерассеивающая среда называется прозрачной или диатермической, средой. Для такой среды коэффициенты поглощения и рассеяния равны нулю. Подставляя %v= О и av О в уравнение (8.10а), получим = 0 или V-(Q/J = 0. (8.14) Это уравнение означает, что интенсивность излучения в прозрачной среде всюду остается постоянной. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРА ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ Дивергенция вектора плотности потока результирующего ш-лучения V-*? характеризует изменение в единицу времени энергии излучения, заключенной в единице объема среды, ио всему сдектру частот вследствие испускания излучения во все сферическое пространство и поглощения падающего из него излучения. Чтобы вывести соотношение для V-q"" рассмотрим уравнение переноса излучения (8.10) в следующем виде: V.[Q/,(s, ft)l+Mv(s, Щ = p(Q.Q)/(s, Q)dQ,. (8.15) Q=47r Преобразуем обе части этого уравнения с помощью оператора и получим (8.16а) поскольку dQ = 4n. in (8.166) (8.16в) (8.16r) Интегрируя (8.16) по всем частотам, получаем искомое соотношение в следующем виде: V.q = 4л \ yiJyb{T)dv- \ HJ\[{s,Q)d9J У-О V=0 .4л dv, (8.17а) (8.176) Первый и второй члены в правой части уравнения (8.17а) выражают соответственно излучение, испускаемое и поглощаемое единицей объема среды в единицу времени. Следовательно, V-q представляет собой испускание или поглощение излучения (единицей объема в единицу времени) в зависимости от того, положительна или отрицательна эта величина. Иногда уравнение (8.17а) рассматривают как уравнение сохранения энергии излучения. Заметим, что рассеяние не входит в это уравнение. Для среды, которая содержит распределенные источники энергии с плотностью потока объемного излучения и в которой энергия переносится только излучением (т. е. кондуктивная и конвективная составляющие пренебрежимо малы), дивергенция V-q должна быть равна g, т. е. уравнение энергии принимает вид ) (8.18а) где g может быть функцией координат и времени. В одномерном случае, например, это уравнение можно записать в виде (8.186) 8.2. РАДИАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ Рассмотрим среду, в которой отсутствуют внутренние источники или стоки энергии, а перенос энергии происходит исключительно излучением (т.е. кондуктивная и конвектив"ная составляющие пренебрежимо малы) и в которой устанавливается стационарное распределение температуры. В любой точке такой среды энергия поглощаемого излучения должна быть равна энергии испускаемого излучения. Это условие эквивалентно требованию, чтобы результирующее испускание (или результирующее поглощение) излучения повсюду было равно нулю, и называется радиационным равновесием. Уравнение, характеризую- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |