|
| |
|
Главная Журналы которым нулевым приближением фоСт!), что позволяет получить первое приближение \{х): Ф, {x)f[x) + x\K {X, Ti) фо (л) dx\. (5.17) Подставляя ц>\{ц) в правую часть уравнения (5.16), получаем второе приближение Ц)2[х): Ф2 {x) = f{x)x\K {X, Ti) ф, (Ti) dx. (5.18) Второе приближение используется для получения третьего и т. д. Фз (л-) = f (л-) + я J ii: (ж, ц) ф2 (Ti) d\\. (5.19) Ф„(л:) = f (л:) + Л 5\ (л:, ti)ф„ , (Ti)rfTi. (5.20) В случае выполнения этой последовательности операций ф„(л:) запишется следующим образом: п{х) = !{х)Щ{х)ХЩ{х)- + яа/(х)+ ... +Г-Г-7() + Л7(д (5.21) где оператор L определяется как Ц{х)\К{х, ri)f(Ti)rfTi, (5.22) Lf {х)\к {X, ц) 5 К (Г1, Г1,) / (л,) rfri, dxi, (5.23) Ъ b Ь Щ{х)\К{х, rii)5(rii, %)f(ri3)rf%rfri,rfn. (5.24) Как показано в работах [2 н 3], прн я-> оо (5.21) будет сходиться к решению интегрального уравнения (5.16), т. е. Игл Ф„(.к) = ф(.к), (5.26) если выполняется условие (b - a)M (5.26) где М - максимальное значение ядра К{х,г\) [т.е. /С(л:, т)]] в интервале а х а Ь. Сходимость ряда будет бы- строй, если X < I. На практике аналитически берут только несколько первых интегралов, так как вычисление последующих интегралов становится крайне сложным, однако при использовании быстродействующих ЭЦВМ эта процедура не представляет труда. б) Сведение к системе алгебраических уравнений. Интегральное уравнение (5.16) можно аппроксимировать системой линейных алгебраических уравнений, представив интеграл в правой части в внде суммы. Аппроксимировав интеграл суммой (по формуле Симпсона, по формуле трапеций или методу Гаусса), можно решить систему линейных алгебраических уравнений с помощью стандартных машинных подпрограмм. (Применение метода Гаусса будет рассмотрено ниже в гл. П.) в) Вариационный метод решения интегрального уравнения. В работе [1] показано, что функция ф(х), которая приводит к появлению экстремума (т. е. максимума или минимума) функционала К{х, (/)ф(л:)ф(т1)л:т14- -2\{x)f{x)dx~\ [ф[х)]Ых, (6.27) является также решением интегрального уравнения (5.16). Точное выражение для функции {х), приводящее к экстремуму у функционала (5.27), найти трудно, а приближенное - можно, используя метод Ритца, описанный в [2]. Представим искомое решение tp(x) в внде линейной комбинации п соответствующим образом выбранных функций (л:) (5.28) Выбор функции h{x) может быть произвольным, но его следует делать с учетом физической сущности решаемой задачи. Постоянные Ch определяются нз условия, что разложение (5.28), будучи подставленным в (5.27), дает экстремум функционала. Пусть /-/(с,. С2, .... О (5.29) означает результирующее выражение, полученное после подстановки (5.28) в (5.27). Коэффициенты С2, .... Сп можно определить, дифференцируя (5.29) по каждому нз коэффициентов и приравнивая полученные выражения нулю: = 0 2, п. (5.30) Уравнения (5.30) дают систему нз п алгебраических уравнений, решая которую можно получить п неизвестных коэффициентов Ch. На практике указанная процедура проводится сначала с несколькими членами в выражении (5.28), затем количество членов увеличивают, пока не будет достигнута нужная точность. Вариационный метод использовался ранее авторами работ [4-6] для решения задач теплообмена излучением в замкнутых системах. г) Обобщенный вариационный метод. Решение задачи о теплообмене излучением в замкнутой системе с помощью обобщенного зонального метода приводит к необходимости решения систем интегральных уравнений вида [см. уравнение (5.11)] фЛп) = /Лг.) + Я;Е 5ф/(Г/)( . =1. 2...., N, (5.31) в которых неизвестными являются функции fpi{ri), характеризующие плотности потоков эффективного излучения. Здесь fiii)-известная функция (распределение плотностей тепловых потоков илн температур по i~k зоне), Яг - постоянная величина, Kij - ядро интегрального уравнеиня, связанное с диффузным элементарным угловым коэффициентом выражением dFaA,-dAKiidAi. (5.32) Следовательно, прн заданной геометрии системы ядро Кц известно. Спэрроу н Хаджи-Шейх показали [7], что решение интегрального уравнения (5.31) эквивалентно отысканию экстремума функционала = Е S \ \wKi,dAjdAA- -Z-k WH-z + Z ]lleidA,. (5.33) /=1 л. Если функции ф1, ф2, флг определены таким образом, что они приводят к экстремуму функционала (5.33), то эти функции (5.35) означает результирующее выражение для функционала, полученное после такой подстановки. Тогда для определения коэффициентов Сгт, приводящих К экстремуму /, продифферснцируем (5.35) по каждому нз коэффициентов Cim н приравняем соответствующие выражения нулю: -- = 0, /=1, 2, т=1, 2, М. (5.36) Эта система содержнг MXN алгебраических уравнений с Л1 X Л? неизвестными коэффициентами йт. Точность получаемого решения может быть повышена путем увеличения числа членов в разложении (5.34), однако нельзя не отметить трудности решения системы, состоящей нз большого числа уравнений. д) Аппроксимация ядра. Интегральное уравнение (5.16) можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, если аппроксимировать его ядро К{х,г\) экспоненциальной функцией вида К{х, Ti)c-ce-Pi*-l. (5.37) В этом случае подстановка (5.37) в (5.16) приводит к уравнению ф(х) = /(х) + Яс е-Р и-11)ф (т) + J е-Р(-*ф {ц)dц . (5.38) Дифференцируя (5.38) дважды по х н исключая нз него интегралы с помощью исходного уравнения(5.38), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение -р(2-р)ф(х) = -рГ(.). (5.39) Оно может быть решено численно нлн аналитически в завнсн-мостн От сложности функции f{x). Граничные условия, иеобхо- являются также решением системы интегральных уравнений (5.31). Найти точно эти функции чрезвычайно трудно в силу чего с помощью метода Ритца отыскивают приближенное решение. Предположим, что каждая нз функций ф;(Г() может быть представлена в виде линейной комбинации М соответствующим образом выбранных функций ¥гт(Гг) фЛг,-)= Z ,Л(Г;) / = 1. 2, iV, (5.34) где постоянные Cjm (( - 1,2, ..., N н m = 1, 2, ..., М) должны определяться нз условия, что подстановка разложения (5.34) в (5.33) приводит к экстремуму функционала /. Пусть днмые для решения этого уравнения, определяются из рассмотрения исходного интегрального уравнения (5.16) в точках границы Возможна более точная аннрокснмацня ядра /({.v, т)) в внде суммы двух экспонент К[х, Ti)~Cie-Pl-*-l + C2e-PIl. (5.40) В этом случае исходное нн1егральное уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка для функции ф(х). Экспоненциальная аппроксимация ядра была использована в работах [6, 8 н 9] для решения задач теплообмена излучением внутри полостей 5.4. ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ Обобщенный зональный меюд использовался для решения задач теплообмена излучением между двумя параллельными пласгннамн в работах [4, 7 и 10]. В данном разделе будут рассмотрены постановка задачи в этом частном случае и полученные результаты Рассмотрим показанные на фнг. 5 1 две параллельные пластины длиной L, отстоящие друг от друга на расстоянии h н бесконечно протяженные в направлении, перпендикулярном пло-скосгн чертежа Примем, что пластины непрозрачные, серые, днффузно испускают н днффузно отражают излучение, имеют одинаковую степень черноты е и поддерживаются прн посгоян-ной одинаковой температуре Г. Для простоты предположим, что окружающее пространство имеет нулевую температуру. Найдем распределение плотности потока результирующего нзлучення но поверхности пластин. (г) V /A Y -  Те = о Фиг. 5.1. Теплообмен излучением между двумя параллельными пластинами, поддерживаемыми при постоянной одинаковой температуре Г. >j Следовательно, dFdx,-dx, = -d{smd), Х2 - XI smo = dFdXi-dx, - I 2 [(х.-ху + НЦ dX}. (5.44) (5.45) (5.46) Подставляя (546) в (543), получаем уравнение для плотности потока эффективного нзлучення R{x,)===zar+U\-z) \ [(д2-лг,)=4-/(П R{X2)dx2, (5.47) которое можно записать в безразмерном внде ф(х)= 1 +Я \ К{х, Т1)ф(т1)йт). (6.48) Так как система симметрична относительно центров пластии Oi и Ог, поместим в них начала отсчета координат н Х2. Интегральные уравнения для плотностей потоков эффективного излучения 1 (л-)) н Я2{Х2) получаем из уравнения (5.9): R (х,) = вдТ + (1 - е) 5 7?2 {Х2) dFax,-dxv (5.41) R2 {Х2) ЕдР + (1 - е) 5 Ri (X,) йРахг-ах,. (5.42) -LI2 Здесь произведена замена обозначений угловых коэффициентов dFdA,-dA, н dFdA,-dA, на dFdx,~dx, н dFdx-dx, соответсгвенно и вместо р подставлено (1 - е). В силу симметрии Ri{Xi) ~ R2{X2) прн Xi Х2 В этом случае достаточно решить только одно из уравненнн: (5 41) или (5.42); запишем уравнение, для которого отыскивается решение, опустив индекс при плотности потока эффективного излучения: R{xx)==EdP + {l -в) 5 R{x2)dFdx,-dx,. (5.43) -Ll2 Диффузный угловой коэффициент между двумя длинными параллельными полосами шириной tf-v, и dx2 равен [см. (3.53а)] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |