|
| |
|
Главная Журналы cos 6; COS 6 i г cos COS 0 /=1 dAi, (5.2a) (5.26) так как /=Ь 2, iV, cos б/ dAf Здесь rjj -длина прямой линии, соединяющей элементарные площадки dAi и dA. Для диффузного отражения спектральная индикатриса отражения U, н спектральная интенсивность эффективного излучения /bv(ri) не зависят от иаправлення; тогда ti и /,-v(rt) связаны со спектральной полусферической отражательной способностью и плотностью монохроматического потока эффективного излучения соответственно следующими соотношениями: iif,v = Pi,v [см. (1.108)], пи,Ли) = Я1,Ли) [см. (1.129)]. (5.3а) (5.36) Из определения диффузного углового коэффициента следует (5.3в) cos 6 COS dFdA.-dAr ~-- I ПП; dAi. Подстановка (5.3) в уравнения (5.1) и (5.2) дает /=1 At (5.5а) /(Г/)= 5 Qi,{Ti)dy, Qi. V iU) = Ri, v (Г;) - XI f dFiArdAj- (5.56) qi.kiri) . kiU) = RiMu) ~ 5 dFaA,-dAf, /=1 A, Pi.k {i.kfb.k[T,{ri)]~{\~9i.k) Ri,k{ri)), Pi,feO, (5.7a) (5.76) (5.7b) Другие выражения для £?i,v(ry) могут быть получены, если исключить сумму, входящую в уравнение (5.56), с помощью (5,4): qi.v (г,) {е,, nlb\Ti (г,)]-(1 -р,. v) Ri.Ari)) Р;.vO (5.5в) или исключить нз (5.56) Ri.vit) с помощью (5.4): qi.v{ri) = ei,nlb [Ti{Ti)] - -(l--Pv)X! 5,v(г/)rfrfл,-rfд. J = U 2,..., ЛГ. (5.5г) Уравнения (5.4) и (5.5) представляют собой математическую постановку задачи о теплообмене нзлучеипем в замкнутой системе в рамках обобщенного зонального метода. Эти уравиеиия переходят в полученные ранее уравиеиия (4.10) и (4.11), если при-пять допущение упрощенного зонального метода о постоянстве плотностей потоков эффективного излучения и температур по поверхности каждой из зои. ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПОЛОС Приведенные выше уравиеиия, которые составляют основу обобщенного зонального метода, могут быть упрощены, если разбить весь энергетический спектр на К спектральных полос шириной Av/i (й = 1, 2, ..,,/() и принять допущение о постоянстве радиационных свойств в пределах каждой нз полос. Интегрируя ургвнеиия (5.4) и (5.5) в пределах полосы спектра шириной Avft, получаем Ri.k{ri) = Et.kh.k[Ti{ri)]-\-9i,kY, \Ri,k{>f)dF .aAi (5.6) /=1 А. /=1 а, i=U 2..... iV, 2, К. Здесь приняты следующие обозначения: (В.8а) (5.86) (5.8в) а e,-,ft и p,-,ft~ средние значения спектральной степени черноты и спектральной отражательной способности в частотном интервале Avh- Следует отметить, что уравнения для каждого из частотных интервалов независимы. ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕРОГО ТЕЛА Если предположить, что радиационные свойства поверхностей замкнутой системы не зависят от частоты, уравнения (5.4) и (5,5) можно проинтегрировать по всему диапазону частот, что дает Ri ih) = iTj (г,) + р, \Ri {Ti) dFdA,-dA (5.9) /=1 А qi{ri)Ri{ri)-Yj [RdldArdA,. (5.10а) /=1 А 9W=-i7h*nW-(i-p/)«/W]- р« (5.106) «,W = «.SJ(-0-(1-p0Z \ R,{,)dF,ArA,. (5.10в) = 1, 2. iV, так как \ Ri.dvRi, \ !b{T)dv = n!b{T) = aT\ предположим, что температуры поверхностей всех зон за даны, тогда (5.9) представляет собой систему интегральных уравнений с iV неизвестными функциями Ri{ri) [i = I, 2,...,N). После определения плотностей потоков эффективного излучения с помощью соотношений (5.10) могут быть найдены распределения по поверхности каждой из зон плотностей потоков результирующего излучения. Предположим, что для г зон известны распределения температуры по поверхности Ti(rj) (/- I, 2, г), а для остальных зон, известны распределения плотности тепловых потоков qi{Ti) {i - r-\-{, r-\-2, iV); требуется определить распределение температуры по поверхности зон с заданными qiii) и распределение плотностей тепловых потоков по поверхности зои с заданными Тг(п). Уравнения для плотностей потоков эффек* тивного излучения получаются из (5.9) для зон с известными температурами и из (5.10а)-для зон с известными плотностями тепловых потоков. Получаем Дг,)==8,аГ(г,) + р \ Rl{Tl)dF,..,j,, (5.11) /=1 а, i=l, 2, г Ri iU) = qi (Г/) + Е 5 /1*"/ dPdArdAj (5.12) J=l а, i = r + U r + 2, iV. Уравнения (5.11) и (5.12) представляют собой систему из М интегральных уравнений с неизвестными функциями Ri{Ti) (i=l,2, Л), После определения плотностей потоков эффективного излучения из уравнения (5.12) [или одного нз уравнений (5.10)] можно рассчитать плотности результирующих тепловых потоков для зон с заданными температурами поверхностей (т. е. для 1 = 1,2, г); а из уравнения (5.11) [или (5.106) или (5.JOb)] -температуры зон с известными плотностями тепловых потоков (i = г -- I, г -- 2.....iV). 5.2. ОБОБЩЕННЫЙ ЗОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ СЕРЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИМЕЮЩИХ ДИФФУЗНУЮ И ЗЕРКАЛЬНУЮ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ Рассмотрим замкнутую систему, разбитую на зон, причем радиационные свойства поверхности каждой ю зон предполагаются постоянными, а сами поверхности - серыми и диффузно излучающими; отражательные способности каждой поверхности можно представить как сумму диффузной и зеркальной составляющих: P,-PH-Pf. (5-)3) Так как поверхности имеют как диффузную, так и зеркальную составляющую отражательной способности, уравнения для плотностей потоков эффективного излучения могут быть получены из (5.9) путем замены на pf и диффузного углового коэффициента на зеркальный: «iW = .sn(r,) + PfE S«,(r,)rff5,-.,. (5.14) В этом уравнении первый и второй члены в правой части соответствуют энергии диффузно испускаемого и диффузно отражаемого излучения в единицу времени единицей площади зоны Ai в точке с радиусом-вектором г,-, Если температуру и плотность потока эффективного излучения принять постоянными по поверхности каждой зоны, то уравнение (5.14) перейдет в уравнение (4.35), полученное в рамках упрощенного зонального метода. Плотность потока результирующего излучения г(Гг) в некоторой точке Г{ зоны Ai можно представить в виде разности энергий излучения, испускаемого и поглощаемого единицей площади в единицу Времени Ш-П{г,)-(1-р,) \R,{rj)dF, (5.15а) Это уравнение аналогично (5.10в) и отличается от него заменой диффузного углового коэффициента на зеркальный. Другая форма уравнения (5.15а) может быть получена, если исключить из него выражение для суммы с помощью (5.14) ?,(>-,)=-[«<(-рО«К-<)-(1-Р-)«(-<)]. Р?". (5.156) Это уравнение переходит в (5.106) при р = 0. Теплообмен излучением в замкнутой системе. Обобщенный метод 201 Исключая бТ\(г) из уравнений (5.15а) и (5.156), получаем ?.W.W-(-pOZ \fif)%~dA, (5-15В) 1=1 Af которое переходит в (5.10а) прн р? = 0. Уравнения (5.14) и (5,15) представляют собой полную математическую постановку задачи о теплообмене излучением в рамках обобщенного зонального метода для Л-зоиной замкнутой системы, образованной серыми поверхностями, которые имеют как диффузную, так и зеркальную составляющую отражательной способности. 5.3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА Обобщенный зональный метод, описанный в разд, 5.2, приводит к необходимости решения системы интегральных уравнений для плотностей потоков эффективного излучения, В настоящем разделе будет дан краткий обзор методов решения интегральных уравнений типа уравнения Фредгольма, к которым сводится эта задача. Для более детального ознакомления с этим вопросом читателю следует обратиться к работам [1-3] Рассмотрим линейное интегральное уравнение вида ф (х) f (X) + я 5 {X, У]) ф (Т1) dT\, (5.16) где !{х) и К{х,) -известные функции; X, а а 6 - постоянные; функция ф(л:) должна быть определена. Уравнение (5,16) представляет собой линейное интегральное уравнение; оно называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Функция /((л:, г) называется ядром интегрального уравнения. Уравнение называется однородным, когда его свободный член f{x) равен пулю. а) Метод последовательных приближений. Интегральное уравнение Фредгольма (5.16) с действительными непрерывными функциями K{x,j]) н f{x), заданными в интервале ахЬ н о 6, и действительными постоянными а, 6 и ?. можно решить методом последовэгельных приближений (или методом итераций), описанным в [2, 3], Метод состоит в замене функции ф(т)) под знаком интеграла в правой части уравнеиня (5.16) ие- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |