|
| |
|
Главная Журналы  Фнг. 3.2. Координаты к определению диффузного локальгюго углового коэффициента между поверхностями dAi и Л. направим вектор Г32 по линии, соединяющей площадки dAi н dAz. Единичные нормали ni и П2 к площадкам dA] и dA2 образуют с линией, соединяющей эти площадки, углы 9} и 82. Диффузный угловой коэффициент между dAi и Лз в соответствии с (3.8) равен ..,-д.= 5цйл, (3.19) где г - длина вектора Г12. В системе координат х, у, г, представленной на фиг. 3.2, координаты элементарных площадок dA\ и dA2 равны: Площадка dA: х, =0, г/]=ссо5ф, г, =csin(p, (3.20а) Площадка Л2: х, У2 = У, 2 = 0. (3.206) Выражения для единичных векторов п, и П2 можно записать в виде ni = i/i +т + k/7i, (3.21а) П2 = ik + т2 + к/22, (3.216) где j, i, к -единичные векторы, направленные по осям оу, ох и ог соответственно. Направляющие косинусы равны li = О, nil = sin ф и л - - cos ф, (3.22а) /2 = 0. т20 и «2=1, (3.226) а вектор Tj равен Г12 i (J2 - х) + j (г/2 - Ух) + к (52 - Zi), (3.23а) Г21 = -Г12. (3.236) Тогда величины г, cos 9,, cos 9 и Л, входящие в выражение (3.19), могут быть выражены через переменные х, у, z следующим образом: г - i Г,2 Р = (X, - X2Y + {У1 ~ У2? + (21 - Z2Y - = (0 -х)2 + (ccostp -+ (csintp -0)2 = - -v 4- у2 + ~ 2с(/ cos ф, °17;ГГ--- (д: - 0) О -f (i; - с cos ф) sin ф - (О - с sin ф) cos ф у sin ф . - „ п П2 Гг1 (Xi - Х2) k + (yi - У2) 1П2 + (Zi - гз) «г COS 92 = 7- -7 (О - X) Q + (с cos ф - у) О + (с sin ф - 0) I с sin ф Л2 = rfjc dy. (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) Подставляя (3.24) -(3.27) в (3.19) и интегрируя в пределах Q хЬ Yiy а, получаем ь а x=0 i/=0 Ъ а с sin ф (д: -Ь J/* -f - 2с1/ cos ф) dx dy. (3.28а) Выполнив интегрирование выражения (3.28а), получаем [1] /McoL Urz\g(4\ + arctgf где Hajc, M = b/c, ум + втф). } (3.286) 1 -\-H - WcQS cos ф 3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗНЫХ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОДОМ КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Вычисление угловых коэффициентов прямым интегрированием требует двух- или четырехкратного интегрирования, что представляет значительные трудности для большинства конфигураций, кроме самых простых. Интегрирование по поверхности можно заменить интегрированием по контуру в соответствии с теоремой-Стокса. Этот способ составляет основу метода контурного интегрирования для определения диффузных угловых коэффициентов. Данный метод был первоначаль!10 применен в работе Муна [11] и позднее в работе Муна и Спенсера [12]. В работах Спэрроу [13], а также Спэрроу и Сесса [4] этот метод используется для расчетов диффузных угловых коэффициентов в задачах теплообмена. Согласно теореме Стокса, циркуляция вектора V по замкнутому контуру 5 поверхности А равна потоку ротора этого вектора через поверхность А, т. е. 5 n-(VXy)dA= V-dS. (3.29) Г[0верх110сгь А К0[1тур Л Направление обхода контура подчиняется правилу винта с правой резьбой, завинчиваемого в направлении ециничного вектора нормали к поверхности п (фиг. 3.3). Представим выражения для V и п в виде ViV;, + JVy + kV„ (3.30а) п =!/ + jm + кп, (З.ЗОб) где проекции вектора V на оси координат Vx, Vy, Kj -дважды дифференцируемые функции х, у, z, а I, т я л - направляющие косинусы вектора нормали. Тогда теорема Стокса (3.29) может  фиг. 3.3. Выбор направления обхода контура в теореме Стокса. Фиг. 3.4. Применение теоремы Стокса к определению диффузного локального углового коэф-фитента FaA-A,-  быть записана в виде ]) [{-w-JVTz---дГ) + [ЮверхЕюсть А . (дУу Л Л., {V,dxVydyV,dz). (3.3 Г ко[[-гур А Доказательство теоремы Стокса можно найтн в любом учебнике высшей математики. Ниже будет рассмотрено использование метода контурного интегрирования для определения диффузного локального и среднего угловых коэффициентов. а) Диффузный локальный угловой коэффициент между элементарной площадкой dA\ и поверхностью Aj. Рассмотрим элементарною площадку dAx и поверхность А2 конечных размеров (фиг. 3.4). Угловой коэффициент между dAi и Лз определяется [см. (3.8)] в виде PdA,-A,= J cos 9] cos 63 причем cos о, = cos 9 = "2 Г21 (3.32) (3.33а) (З.ЗЗб) r:==]ri2l. Подставляя (3.33) в (3.32), получаем выражение (3.34) которое можно переписать в виде Используя равенство [11] получаем (3.35) i3.36) (3.37) В соответствии с теоремой Стокса преобразуем интеграл но поверхности в интеграл по контуру: -.-. = § ()-s, контур А2 Для прямоугольион системы координат х, у, z Г12 = {2 - -i) i + {У2 - /i) j + (22 - Zi) k, П, = /,i -\- /7jj -- /j.k, rfs = dx2 i + rf 2 i + dz k. (3.38) (3.39a) (3.396) (3.39b) Подставляя эти выражения в (3.38), получаем FdAi-Аг КОНТУ0 лг (JCs - х\) - (Z2 - Zi) dx. контур Ai контур Л- {У2 - /О dx> - (д:, - JTi) dy2 (3.40) где = (2 - Xif -\- ( 2 - yif + (2 - Zif H /,. m,, - направляющие косинусы. Интегрирование по контуру поверхности Лг в (3.40) следует выполнить описанным выше способом. Если оси координат ориентированы таким образом, что единичный вектор нормали ni к элементарной площадке dAi параллелен одной из осей координат, то направляющие косинусы rii относительно двух других осей становятся равными нулю и два интеграла в (3.40) пропадают. Кроме того, если одна из границ поверхности Лг параллельна оси координат, интегрирование также упрощается. б) Диффузный средний угловой коэффициент между поверхностями Л, н Лг. Рассмотрим диффузный средний угловой коэф-()нцнеит рА,~Аг между поверхностями Ai и А,, определяемый выражением AiFa-A.. \ FdA:~A.<ii. (3,41) Подставляя Fjax-a, из (3.40) в (3.41), после преобразования интегралов получим AiFa-a- ? ]-? контур л l Ai (22 - nil контур л, lлl контур A- (-•c, - Xt) mi - (у2 " yi)l\ dx2 + dz2. (3.42) Заменим интeгJ)aлы no поверхности в этом выражеиин иа соответствующие интегралы по контуру. Первый иитеграл по поверхности Аг в (3.42) можно записать в виде (У. - Уг) пг - {Z2 - 2:) ту п, • (V X V) Л, (3.43) Применяя теорему Стокса, получаем J {y.-y,)n:-U,-Zi)m V, • rfs, = § inrdx,. контур л1 контур л [ (3.44) так как dSi = idxi -\- ]dyi -\-\idzi. Аналогично остальные интегралы в (3.42) примут вид Г i22~Z,)l,-(X2-X])ni V2-rfS,- § \nrdyu контур л, контур л [ (3,45) (3.46) где Vajlnr и Уз = к1пл Подставляя (3.44) - (3.46) в (3.42), получаем выражение MFa,-a. = f ( § "2 + контур л \ко!1тур л] > контур Л, Чкоигу А, / + ir § f § Inrz.ys, (3.47а) контур Ai Ккочтур At J 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 |